知识概要考题剖析［解析］∵a1=,an=(n≥2,n∈N)则当n＝２时，a2===2，当n＝３时，a3===－1，当n＝４时，a4===，同理a5=2,a6=－1,…所以数列{an}是一个周期数列且T＝3，故a2007＝a3=－1.2.（2007·常州）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称，那么a=________.解法2：因为函数f(x)＝sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称，所以f(x)=f(－－x)取x＝0,则f(０)=f(－)即有a＝－1.［点评］本题主要考查三角函数的对称性问题，若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则恒有f(x)=f(2a－x)成立，但作为填空题，可以取特值进行运算.3.（2007·湖南雅礼三月模拟）某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数.①f(x)=p·qx；②f(x)=px2+qx+1；③f(x)=x(x－q)2+p.（以上三式中p,q均为常数，且q＞1）.(Ⅰ)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？(Ⅱ)若f(0)=4,f(2)=6，求出所选函数f(x)的解析式（注：函数的定义域是［0,5］，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…，以此类推）；（Ⅲ）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几个月份内价格下跌.［解析］(Ⅰ)应选f(x)=x(x－q)2+p.因为①f(x)=p·qx是单调函数；②f(x)=px2+qx+1的图象不具有先升再降后升特征；③f(x)=x(x－q)2+p中,f′(x)=3x2－4qx+q2,令f′(x)=0，得x=q,x=,f(x)有两个零点.可以出现两个递增区间和一个递减区间.(Ⅱ)由f(0)=4,f(2)=6得：4.（2007·唐山）设函数fn(x)=1－x+n∈N*（Ⅰ）研究函数f2(x)的单调性；（Ⅱ）判断fn(x)=0的实数解的个数，并加以证明.［解析］（Ⅰ）f2(x)=1－x+(x)=－1+x－x2=－(x－)2－＜0所以f2(x)在(－∞,+∞)上单调递减.（Ⅱ）f1(x)=1－x有唯一实数解x=1.由f2(0)=1＞0,f2(2)=1－2+＜0，以及f2(x)在(－∞,+∞)单调递减，知f2(x)在(0,2)有唯一实数解，从而f2(x)在(－∞,+∞)有唯一实数解.推断fn(x)在(－∞,+∞)有唯一实数解当n≥2时，由fn(x)=1－x++…n∈N*，得f′n(x)=－1+x－x2+…+x2n－3－x2n－2若x=－1，则f′n(x)=f′n(－1)=－(2n－1)＜0若x=0，则f′n(x)=f′n(0)=－1＜0若x≠－1且x≠0时，则f′n(x)=当x＜－1时，x+1＜0,x2n－1+1＜0,f′n(x)＜0当x＞－1时，x+1＞0,x2n－1+1＞0,f′n(x)＜0总之f′n(x)＜0，fn(x)在(－∞,+∞)单调递减fn(0)=1，又fn(2)=(1－2)+()+()+…+()=－1+()22+()24+…+()22n－2=－1－＜0［点评］本题主要考查函数的单调性、导数及连续函数的图象与x轴的交点个数问题.用特殊的函数开路寻找到解题方法即判断函数是单调的且图象与x轴有交点，然后用一般方法来解题.5.（2007·全国第二次大联考)已知函数y=f(x)对于任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值，猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论(n∈N*)；(3)若f(1)≥1，求证：f()＞0(n∈N*).［解析］(1)令x=y=0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0(2)∵f(1)=1，∴f(2)=2f(1)+2=4，f(3)=f(2)+f(1)+4=9，f(4)=f(3)+f(1)+6=16，猜想：f(n)=n2(n∈N*)，下面用数学归纳法证明：当n=1时，显然成立.假设n=k(k∈N*)时成立，则有f(k)=k2当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+1+2k=(k+1)2，结论也成立.故f(n)=n2(n∈N*)成立(3)证明：∵f(1)≥1，∴f(1)=2f()+≥1，∴f()≥=＞0可以证明f≥＞0假设n=k(k∈N*)时结论成立.即f≥＞0，则∴f=2f+2××≥∴f≥＞0即n=k+