几何概型（一）数学组：陈志坚一、引例：设有关于x一元二次方程x2axb0.22问题一、a是从01，3四个数中任取的一个数，b是从0122三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.问题二、若a是从区间0，任取的一个数，b是从区3间02任取的一个数，求上述方程有实根的概率.二、问题情境：问题一、射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？问题一、射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？能用古典概型描述该事122cm件的概率吗？为什么？①试验中的基本事件是什么？②每个基本事件的发生是等可能的吗？③符合古典概型的特点吗？问题二、下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？卧室书房①试验中的基本事件是什么？能用古典概型描述该事②每个基本事件的发生是等可能的吗？件的概率吗？为什么？③符合古典概型的特点吗？问题三、图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜。在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？21问题四、甲获胜的概率与区域的位置有关吗？与图形的大小有关吗甲获胜的可能性是由什么决定的？312⑴甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有关，而与区域的位置无关。在转转盘时，指针指向圆弧上哪一点都是等可能的。不管这些区域是相邻，还是不相邻，甲获胜的概率是不变的。⑵甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关，与图形的大小无关。思考：上面四个随机试验有什么共同特点？①一次试验可能出现的结果有无限多个；②每个结果的发生都具有等可能性．三、模型建构：对于一个随机试验我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点该区域中每一个点被取到的机会都一样而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段平面图形立体图形等.用这种方法处理随机试验称为几何概型.几何概型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.几何概型的本质特征：①将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型.②有一个可度量的几何图形D.③试验B看成在D中随机地取一点.④事件A就是所取的点落在D中的可度量图形d中.几何概型的计算：一般地在几何区域D中随机地取一点记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A则事件A发生的概d的测度率为:PA.D的测度注:D的测度不能为0其中“测度”的意义依D确定当D分别为线段平面图形立体图形时相应的“测度”分别为长度、角度、面积、体积等.古典概型和几何概型的比较：古典概型几何概型所有基本事件的个数有限个无限个每个基本事件发生的可能性等可能等可能mdA概率的计算公式PAPAnD重新设疑，升华概念：问题：如图所示，有一个转盘，BB区域缺了一个角，转动转盘，求指针指向B区域的概率数学运用：例一、某人午觉醒来发现表停了他打开收音机想听电台报时求他等待的时间不多于10分钟的概率.问题：怎样求几何概型的概率？对于复杂的实际问题解题的关键是要建立模型找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域把问题转化为几何概率问题利用几何概率公式求解.①利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解；②把基本事件空间转化为与之对应的区域D；③把随机事件A转化为与之对应的区域d；④利用几何概型概率公式计算。变式一、小张对完表后准备去书店买几本数学资料，他家楼下就是6路公交车站点，6路公交车每隔5分钟有一辆到达（假设每辆汽车可以带走车站上的所有乘客），小张到达站点的时刻是任意的，求他候车时间不超过3分钟的概率？变式二、在6路公交车行进前方有一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40，当秒（没有两灯同时亮）6路公交车达到路口时，小张看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯。领悟运用：1、取一根长度为30厘米绳子，拉直后在任意位置剪断，剪得两段的长都不小于10厘米的概率？2、取一根长度为30厘米绳子，拉直后在任意位置剪断，剪得两段中有一段长小于10厘米的概率？3、在边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，求这粒豆子落在