古典概型中概率的基本性质：（1）对任何事件A，P(A)>0；（2）P(Ω)=1；（3）有限可加性例6：某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率几何概型设样本空间为有限区域,若样本点落入内任何区域G中的概率与区域G的测度成正比,则样本点落入G内的概率为例7：两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.x例8：蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，线之间的距离都为d，向此平面任投一长度为l(l<a)的针，求此针与任一平行线相交的概率。蒲丰问题的图示解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示针与此直线间的交角.易知样本空间满足：0xd/2;0.形成x-平面上的一个矩形，其面积为：S=d(/2).A=“针与平行线相交”的充要条件是:xlsin(/2).于是：问题的推广：如果没有了l<a的限制结论如何？问题的进一步推广：平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形与平行线相交的概率。几何概型中概率的基本性质：（1）对任何事件A，P(A)>0；（2）P(Ώ)=1；（3）有限可加性例9：贝特朗（Bertrand）奇论：在半径为1的圆内随机的取一条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？对“随机地”几种不同的理解：“随机地”有如下三种不同的理解：（i）设任意一弦的中点直角坐标为(x,y)，此弦在园内的充分必要条件为：x2+y2≤1，此时，弦长L>√3等价于x2+y2<1/4，此时，p=[(1/4)π]/1π=1/4(ii)设任意一弦的中点极坐标为(r,θ)弦在园内的充分必要条件为：-1≤r≤1,0≤θ≤2π弦长为：L>√3等价于|r|<1/2所以p=[1/2-(-1/2)]/[1-(-1)]=1/2(iii)弦的两个端点A、B取极坐标A(1,α)、B(1,β)可假定弦的一端固定，比如B(0,β)，此时弦长：L>√3等价于(2/3)π<α<(4/3)πp=[(4/3)π-(2/3)π]/[2π-0]=1/3概率论的公理化：一、公理化的背景：（1）必要性，（2）数学学科公理化的大趋势（3）抽象测度和积分理论的发展与成熟二、事件域：（1）事件域的公理化定义（2）例子可列可加性三、概率设是随机试验E的样本空间，若能找到一个对应法则，使得对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A),满足：四、概率空间及其例子：（1）概率空间（2）常见的概率空间有限概率空间、离散概率空间、欧氏概率空间五、概率的性质及其应用：（1）P(φ)=0.注意:逆不一定成立.（2）概率有有限可加性：若AB=φ，则P(AB)=P(A)+P(B).可推广到n个互不相容事件.（3）P()=1P(A).因为概率是事件(集合)的函数，所以先讨论事件(集合)的“极限”.给出可列可加性的充要条件.若事件序列{Fn}满足：F1F2…Fn…则称{Fn}为单调不减事件序列，其极限事件为设P(·)是一个集合函数，(1)若任对单调不减集合序列{Fn}，有则称P(·)是下连续的.性质若P(·)是事件域F上的一个概率函数，则P(·)既是下连续的，又是上连续的.定理：若P(·)是事件域F上满足：非负、正则的集合函数，则P(·)有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.（7）概率性质的应用：P44例5：某城市有N辆卡车，车号从1到N，有一个外地人到该城去，把遇到的n辆车子的牌号记下（可能重复），求记下的最大号码正好为k的概率。补例：从1,2,……,9中返回取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.解：因为“乘积能被10整除”意味着：“取到过5”(记为A)且“取到过偶数”(记为B)。因此所求概率为P(AB).利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式P45例6：某人写好n封信，又写好n只信封，然后，将每封信随机地放入n只信封中，求至少有一封信放对的概率。解：记Ai=“第i封信与信封相符”，i=1,…,n.要求的概率为：P(A1A2……An)用加法公式：P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n1),P(AiAjAk)=1/n(n1)(n2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1A2……An)=（上节课例4）：一列火车有n节车厢，有K（K≥n）个乘客上火车，并随机的选择车厢。求每节车厢内至少有一名乘客的概率。第一章小