第二章矩阵及其运算§2.2逆矩阵第一节1.定义由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元。以数aij为(i,j)元的矩阵可简记作(aij)或(aij)m×n，m×n矩阵A也记作Am×n。元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称之为n阶方阵，记作An。2.行矩阵、列矩阵与方阵只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。3.同型矩阵与矩阵相等:如果两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称这两个矩阵相等。记作：A=B4.零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。不同型的零矩阵是不相等的。5.对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵如果n阶方阵除主对角线上的元素不全为零外，其余元素全为零，这样的n阶方阵称为对角矩阵。记作A=diag(λ1,λ2,…,λn)如果n阶方阵如果满足主对角线上的元素全为1，其余元素全为零，这样的n阶矩阵称为n阶单位矩阵。记作En或E。如果n阶方阵主对角线上的元素全为k，其余元素全为零，这样的n阶矩阵称为n阶数量矩阵。二、矩阵的运算矩阵加法的运算律：(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)设矩阵A=(aij)，记A=(aij)，称A为矩阵A的负矩阵。由矩阵加法的定义，显然有A+(A)=O，由此，矩阵的减法可定义为ＡB=Ａ+(B)2.矩阵的数乘：数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：矩阵数乘的运算律：就是说，矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。矩阵A与矩阵B做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定相等；AB=O不一定有A=O或B=O；A(XY)=O且A≠O也不可能一定有X=Y只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm(3)(AB)k≠AkBk5.矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。如果A是一个m×n阶矩阵，那么AT就是一个n×m阶矩阵。且A的行一定就是AT中同序数的列证明：设矩阵A为m×s阶矩阵，矩阵B为s×n阶矩阵，那么：(AB)T与BTAT是同型矩阵；又设C=AB，因为CT的第i行第j列的元素正好是C的cji，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故(AB)T=ATBT6.方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记为|A|或detA。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。方阵的行列式满足以下运算规律(设A、B为n阶方阵，λ为实数)2.上(下)三角矩阵：3.行阶梯矩阵与行最简矩阵：一个m×n阶矩阵A=(aij)它的第i行的第一个非零元素记为,如果当i>k时,有ji>jk时，称A为行阶梯矩阵。若矩阵B满足以下条件(1)B是行阶梯矩阵；(2)B的每一非零行的第一个非零元素为1；(3)每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零。称矩阵B为行最简矩阵。4.对称矩阵与反对称矩阵：设A为n阶方阵，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为对称矩阵；若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为反对称矩阵。5.正交矩阵：若n阶方阵A满足AAT=ATA=E称A为正交矩阵。6.幂等、幂零、幺幂矩阵：若n阶方阵A满足：A2=A，称A为幂等矩阵Ak=O，称A为幂零矩阵Ak=E，称A为幺幂矩阵7.伴随矩阵：设A=(aij)n×n，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊第二节设对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=BA=E恒成立，则称矩阵A可逆；B称为A的逆矩阵，记为A－1=B。2.若|A|≠0，则A可逆，且3.对于n阶方阵A、B若有AB=E则：A、B均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明：∵AB=E∴|A||B|=1故|A|≠