第四章根轨迹法知识要点绘制根轨迹曾经是枯燥繁琐的工作，MATLAB的出现使这项工作变得轻松愉快，如今在计算机上一分钟就能绘制一张精确的根轨迹图。目录图4-1反馈控制系统考虑图4-1所示负反馈控制系统，设其开环传递函数为：今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的事，由于计算机强大的计算能力，所以计算机绘制根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是每改变一次增益K求解一次特征方程。让K从零开始等间隔增大，只要K的取值足够多足够密，相应解特征方程的根就在S平面上绘出根轨迹。图4-2根轨迹图如前所说，传统的根轨迹法是不直接求解特征方程的，它创造了一套行之有效的办法——图解加计算的手工绘图法。如今，尽管手工绘制根轨的一些繁琐技艺已经没有多大价值，但是，它所发掘出来的根轨迹基本规律，无论用哪种方法作图都是适用的。首先讨论根轨迹最基本最重要的规律——相角条件。考察图4-1所示的系统，其闭环传递函数为:上式可分为幅值条件:根轨迹法研究系统的一个可调参数对闭环极点的影响，最常见的可调参数是开环增益K。令G(s)=KG0(s)，显然，K的变动只影响幅值条件不影响相角条件，也就是说，根轨迹上的所有点满足同一个相角条件，K变动相角条件是不变的。所以，绘制根轨迹可以这样进行：首先在S平面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的曲线就是根轨迹，然后反过来按幅值条件求出根轨迹上任一点的K值。我们可以把现有的绘制根轨迹图的方法分为三类：1）手工画概略图（草图）。这种方法适合调试现场的应急分析、项目开始的粗略分析等不要求很精确的场合。一个熟习根轨迹基本规则的人几分钟就可以画出一张很有用的概略图。2）手工图解加计算画准确图。这种方法曾经沿用很久，以往的教科书讲述了很多绘图的技艺，不仅繁琐，精度也差，这类方法在实际应用中已逐步淘汰。3）计算机绘制精确图，目前主要指用Matlab工具绘制根轨迹图。它准确快捷，短时间内可以对多个可调参数进行研究，有效地指导设计与调试。本章主要介绍1）3）两种方法，着重讨论绘制根轨迹的基本原理和基本规则。这里讨论的是以开环增益K为参变量的根轨迹，它是最基本、最常用的根轨迹，为了区别，我们称之为‘典型根轨迹’。仍然针对图4-1所示负反馈系统，设系统开环传递函数可以表示为：式中p1,p2,…pn，为开环极点，z1,z2,…zm为开环零点。这样，系统的闭环特征方程可以表示为：按相角条件绘制根轨迹图的依据。具体方法是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。以下列4阶系统为例：先在复平面上标出开环极点p1,p2,p3,p4和开环零点z1如图4-3。对试验点S，如果它在根轨迹上，就应当满足相角条件：为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记并理解三句话：绘制根轨迹——依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘图更快更准。概括起来，以开环增益K为参变量的根轨迹图主要有下列基本规则：1）起点和终点当n>m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是K→∞的点，要K→∞只有两种情况，一是s=zl(l=1,2,…,m)，二是s→∞。这时，无穷远处也称为‘无穷远零点’。2）分支数和对称性3）渐近线4）实轴上的根轨迹这个规则用相角条件可以证明。考虑实轴上的某一试验点s0（见图4-4），任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2,p3）对应的相角（如θ2,θ3）之和均为3600，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响实轴上试验点s0的相角条件。再看实轴上的开环零、极点，对试验点s0，其左边实轴上任一开环零、极点对应的相角（如θ4,φ3）均为0，其右边实轴上任一开环零、极点对应的相角（如θ1,φ1,φ2）均为1800。所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。根轨迹与虚轴的交点是临界稳定点，该点的坐标jω0和增益K0是很重要的，将s=jω代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出ω0和K0。用劳斯（Roth）判据也可以求得K0。6）根轨迹的分离点基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，分离点的座标λ，是下列代数方程的解：7）根轨迹的出射角和入射角根轨迹进入某个开环零点Zl的入射角为：除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点决非易事；手工求出射角和入射角也不太好操作，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。按7个基本规则绘制根