第二章控制系统的数学模型主要内容重点2-1控制系统的时域数学模型控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。模型按系统运动特性分为：静态模型动态模型控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键!一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的，在工程问题的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持；另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有生命力。对系统数学模型的基本要求理论上，没有一个数学表达式能够绝对准确地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因素，系统越复杂，情况也越复杂。而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：----模型类型（与物理性能、分析、设计方法有关）----系统允许的误差条件（在允许的条件下尽可能取简单的模型形式）2.1微分方程模型（亦:时间域模型）2.1.1根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤：（1）确定系统中各元件的输入输出物理量；（2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素，适当简化；（3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系；（4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式例1：机械位移系统如图，建立X(t)~F(t)的微分方程关系式。对于m，由牛顿定律，有弹簧力,k－弹簧系数阻尼器力,f－阻尼系数两式代入：例2：RLC电路如图，建立输入输出间的微分方程关系式。注意：该系统也是一个二阶系统与例1相比，它们具有相同的模型形式。当kmf与RLC在数值上具有一定关系时，上述二个微分方程具有完全相同的形式。也就是说，在数学上X(t)~F(t)，Uc(t)~Ur(t)具有相同的关系（静、动态关系），由此可见利用数学模型研究控制系统的重要性、方便性。另外，用电气系统模拟机械系统进行实验研究也是工程中的常用方法，就系统理论而言，可以撇开系统的具体属性进行普遍意义的分析和研究。线性系统的重要性质：叠加原理可叠加性和齐次性线性定常微分方程的求解方法有：经典法和拉氏变换法拉氏变换法：微分方程拉氏变换代数方程求解拉氏反变换非线性数学模型线性化具有两个自变量的非线性函数的线性化这种小偏差线性化方法对于控制系统中大多数连续工作状态是可行的。在线性化处理时要注意以下几点：（1）线性化方程中的参数（如上面的K1,K2）与选择的工作点有关，工作点不同相应的参数也不同。因此处理时，首先应确定工作点。（2）当输入量变化较大时，用上述方法处理误差较大，注意小范围内。（3）如系统在工作点处的非线性是不连续的，其泰勒级数不收敛，这时上述方法不能用，这种非线性称为本质非线性。本质非线性不能进行线性化处理非本质非线性在一定条件下可线性化处理2-1控制系统的复数域数学模型在零初始条件下，取拉氏变换得：例如典型RC电路的微分方程式为传递函数的性质