卷积的图示一个函数卷积自己的图示在积分下证卷积满足结合律,即[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]为此,令交换二重积分的次序,得例1证明f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)证根据卷积的定义任给函数f(t),都有f(t)*d(t)=f(t),这是因为在近世代数中,代数(algebra)一词表示两个元素到一个元素的映射规则.比如数的加减乘除,向量的加,内积,矩阵的加和乘,向量或者矩阵乘数,等等,都是代数运算.如果一个代数运算满足类似加法的性质,如有0元素,有负元素,满足交换律和结合律,则相应的集合叫做加法群,简称群.如果在加法群上再定义一个被称作乘法的运算,满足交换律和结合律,有1元素,且同相应的加法运算满足分配律,此集合就叫做乘法环,简称环.如果乘法除0元素外都有逆,则被称作域了.例2若由卷积的定义有卷积定理假定f1(t),f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件,如f1(t)F1(w)f2(t)F2(w)则f1(t)*f2(t)F1(w)F2(w)以及证按傅氏变换的定义,有相关函数对两个不同的函数f1(t)和f2(t),则积分当f1(t)=f2(t)=f(t)时,积分根据R(t)的定义,自相关函数是一个偶函数,R(-t)=R(t)事实上,前面已经证明过假设f1(t)F1(w),f2(t)F2(w),称S12(w)=F1(w)F2(w)为互能量谱密度.则例3求指数衰减函数当t>0时,积分区间为[0,+)因此,当<t<时,自相关函数可合写为例4利用傅氏变换的性质,求d(t-t0),例5若f(t)=cosw0tu(t),求F[f(t)]例6若F(w)=F[f(t)],证明奈奎斯特采样率假设时间函数f(t)在区间[-a,a]之外全为零,并假设f(t)F(w)现将f(t)进行周期化,产生fT(t),T=2a,然后用傅氏级数表示.t根据对称原理有FT(t)2pfT(-w)假设时间函数f(t)的频谱函数F(w)在[-2pB,2pB]之外为0.B称为f(t)的带宽.现对f(t)进行间隔为Dt的采样得g(t)如图所示:作业习题四请提问