课后素养落实(十四)导数的四则运算法则(建议用时：40分钟)一、选择题1．若f′(x)＝f(x)，且f(x)≠0，则f(x)＝()A．axB．logaxC．exD．e－x[答案]C2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4x－5B[∵点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，该点处切线的斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－6x)|x＝1＝3－6＝－3，∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2．]3．若过函数f(x)＝lnx＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，2)C．(2，＋∞)D．(0，＋∞)B[设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝eq\f(1,x)＋a，故f′(x0)＝eq\f(1,x0)＋a＝2，得a＝2－eq\f(1,x0)，由题意知x0>0，所以a＝2－eq\f(1,x0)<2．]4．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)C[∵f(x)＝x2－2x－4lnx，∴f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＞0，整理得eq\f(2(x＋1)(x－2),x)＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴x＞2．]5．函数f(x)＝eq\f(lnx,x)在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)等于()A．－eq\f(1,e)B．eq\f(1,e)C．eq\f(1,e2)D．e2B[与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f′(x0)＝eq\f(\f(1,x0)·x0－lnx0,x\o\al(2,0))＝eq\f(1－lnx0,x\o\al(2,0))＝0，故x0＝e，∴f(x0)＝eq\f(1,e)．]二、填空题6．函数y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)－\f(1,x3)))的导数为________．3x2＋eq\f(2,x3)[y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)－\f(1,x3)))＝x3＋1－eq\f(1,x2)，y′＝3x2＋eq\f(2,x3)．]7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________．－eq\f(1,e)[由f(x)＝2xf′(e)＋lnx，得f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，则f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)⇒f′(e)＝－eq\f(1,e)．]8．已知函数f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))sinx＋cosx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝________．0[f′(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))cosx－sinx，令x＝eq\f(π,2)，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－sineq\f(π,2)＝－1，∴f(x)＝－sinx＋cosx，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＋coseq\f(π,4)＝0．]三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(eq\r(x)＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))－1))；(2)y＝xtanx；(3)y＝x－2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)y＝2lnx＋ax(a>0，且a≠1)．[解](1)∵y＝eq\r(x)·eq\f(1,\r(x))－eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))－1＝－eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(′)＝－eq\f(1,2\r(x))＋eq\f(－\f(1,2\r(x))