(每日一练)人教版2023高中数学导数及其应用重点知识点大全单选题1、拉格朗日定理又称拉氏定理：如果函数푓(푥)在[푎,푏]上连续，且在(푎,푏)上可导，则必有一휉∈(푎,푏)，使得2푓′(휉)(푏−푎)=푓(푏)−푓(푎).已知函数푓(푥)=푎ln푥−，在区间(0,3)内任取两个实数푥,푥，且푥≠푥，若不等푥1212푓(푥1+1)−푓(푥2+1)式<1恒成立，则实数a的最小值为（）푥2−푥1911A．−B．−2C．−2√2D．−23答案：C解析：푎22依题意可得푦=푓(푥)在区间(1,4)上任意两点连线的斜率大于−1，因此푓′(푥)=+≥−1即푎≥−(푥+)对任푥푥2푥意푥∈(1,4)恒成立，进而可得结果.푓(푥1+1)−푓(푥2+1)依题意可知，∀푥1,푥2∈(0,3)，且푥1≠푥2，不等式>−1成立，(푥1+1)−(푥2+1)它表示函数푦=푓(푥+1)在区间(0,3)上任意两点连线的斜率大于−1，即푦=푓(푥)在区间(1,4)上任意两点连线的斜率大于−1，′푎22所以푓(푥)=+≥−1即푎≥−(푥+)对任意푥∈(1,4)恒成立，푥푥2푥22当푥∈(1,4)时，−(푥+)≤−2√푥×=−2√2（当且仅当푥=√2时取等号），푥푥所以푎≥−2√2，即实数푎的最小值是−2√2.故选：C.2、若函数푓(푥)，푔(푥)满足푓(푥)+푥푔(푥)=푥2−1，且푓(1)=1，则푓′(1)+푔′(1)=（）1A．1B．2C．3D．4答案：C解析：通过赋值푥=1，求푔(1)，再等式两边求导后，赋值푥=1，求푓′(1)+푔′(1).当푥=1时，푓(1)+푔(1)=0，∵푓(1)=1，得푔(1)=−1，原式两边求导，得푓′(푥)+푔(푥)+푥푔′(푥)=2푥，当푥=1时，푓′(1)+푔(1)+푔′(1)=2，得푓′(1)+푔′(1)=2−푔(1)=2−(−1)=3.故选：C푥2+2푥3、若函数푓(푥)=的极大值点与极小值点分别为a，b，则（）푒푥A．푎<푏<푎+푏B．푎<푎+푏<푏C．푏<푎+푏<푎D．푎+푏<푏<푎答案：C解析：利用导数求函数的极值点，再比较选项.2−푥2푓′(푥)=，当−√2<푥<√2，푓′(푥)>0；푒푥当푥<−√2或푥>√2时，푓′(푥)<0．푥2+2푥故푓(푥)=的极大值点与极小值点分别为√2，−√2，푒푥则푎=√2，푏=−√2，所以푏<푎+푏<푎．故选：C填空题4、已知奇函数푓(푥)的导函数为푓′(푥)=5+cos푥，푥∈(−1,1)，若푓(1−푡)+푓(1−푡2)<0，则实数푡的取值范2围为______.答案：(1,√2)解析：求导可得푓(푥)在(−1,1)上单调递增，结合푓(푥)是奇函数，可转化푓(1−푡)+푓(1−푡2)<0为푓(1−푡)<푓(푡2−1)，借助单调性和定义域，列出不等式组，即得解因为푥∈(−1,1)时，푓′(푥)=5+cos푥>0，所以푓(푥)在(−1,1)上单调递增.又푓(푥)是奇函数，由푓(1−푡)+푓(1−푡2)<0，得푓(1−푡)<−푓(1−푡2)=푓(푡2−1)，1−푡<푡2−1所以{−1<1−푡<1，解得1<푡<√2，−1<푡2−1<1所以实数푡的取值范围为(1,√2).所以答案是：(1,√2)315、在平面直角坐标系xOy中，已知푃(√，0)，A，B是圆C：푥2+(푦−)2=36上的两个动点，满足푃퐴=푃퐵，22则△PAB面积的最大值是__________．答案：10√5解析：根据条件得푃퐶⊥퐴퐵,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.∵푃퐴=푃퐵∴푃퐶⊥퐴퐵31设圆心퐶到直线퐴퐵距离为푑，则|퐴퐵|=2√36−푑2,|푃퐶|=√+=1441222所以푆≤⋅2√36−푑(푑+1)=√(36−푑)(푑+1)△푃퐴퐵2令푦=(36−푑2)(푑+1)2(0≤푑<6)∴푦′=2(푑+1)(−2푑2−푑+36)=0∴푑=4（负值舍去）3′′当0≤푑<4时，푦>0；当4≤푑<6时，푦≤0，因此当푑=4时，푦取最大值，即푆△푃퐴퐵取最大值为10√5，所以答案是：10√5小提示：本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.4