第一章量子力学基础知识[1.3]金属钾的临阈频率为5.464×1014s-1，用它作光电池的阴极，当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射的光电子的最大速度是多少？对一个运动速度（光速）的自由粒子，有人作了如下推导：式中，是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度，但3式中用了，显然是错的。在4式中，无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量，但5式中仅仅是微粒的动能部分，两个能量是不等的，因此5式中也是错的（若将E视为动能，则5式对，4式错）。电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度△为速度的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？是算符的本征函数，求本征值。下列函数哪几个是算符的本征函数？若是，求出本征值。是否为本征函数？若是，求出其本征值。已知一维势箱中粒子的归一化波函数为：式中是势箱的长度，x是粒子的坐标（0﹤x﹤）。计算：（a）粒子的能量；（b）粒子坐标的平均值；（c）粒子动量的平均值。[解]：(a)由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用下列两种方法计算粒子的能量：将动量平方的算符作用于波函数，所得常数即为：若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量：①解箱中粒子的Schrodinger方程，在求解过程中会自然得到与上述结果相同的能级表达式（参见周公度、段连云编著《结构化学基础》第二版，p27，北京大学出版社）。若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，则亦可根据变分法的思路，选为变分函数，用式：②根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱中粒子的边界条件，箱长应该等于半波长的整数倍，即：将此式代入deBroglie关系式，得：将此式代入粒子能量的一般表达式，得：（b）由于无本征值，只能求粒子坐标的平均值：(c)由于无本征值.可按下式计算的平均值。一维势箱中粒子的归一化波函数为：式中是势箱的长度，x是粒子的坐标。[解]：（a）由上述表达式计算，并列表如下：根据表中所列数据作图示于图1.17中。（b）粒子在状态时，出现在间的几率为：粒子在状态时，出现在间的几率为：(c)计算结果与图形符合。