A2A2.1设D是一个非退化的实值区间—在此区间上,f是二次可微的.如下的1至3阐述是等价的:1.f是凹的.2.f(x)≤0,xD.3.对于一切x0D,f(x)≤f(x0)+f(x0)(x-x0)4.如果f(x)<0,xD,那么,f是严格凹的.A2.1.2多变量函数证明故有方向导数梯度的概念z结论梯度与等高线的关系：定理A2.2杨格定理定理A2.3单变量与多变量的凹性C是一个凸集,使得g(αt0+(1-α)t1)C证明2:g是凹的,证明f是凹的定理A2.4关于多变量函数的斜率,曲率与凹性由于f是二次连续可微的,它足以在D内建立定理.连续性将关注边界点.因此,xintD与zRn.设C={tRx+tzR},并设对于所有tC,g(t)=f(x+tz).注意g承袭f的二次连续可微性.i定理A2.5凹性,凸性与关于变量本身的二阶便偏导数A2.1.3、齐次函数，表示劳动和资本在产出中的贡献额度因此把柯布－道格拉斯函数为：定理A2.6齐次函数的偏导数由于（P.1）是恒等式,（P.2）必定会等于(P.3),因此有:定理A2.7欧拉定理证明必要性考虑函数t-kg(t).如果对此求关于t的微分,得到:A2.2定理2.9实值函数局部内点最优化的一阶必要条件证明:2024/9/19A2.2.2二阶条件或者H(X*)≤0,由于z是任意取的,这以为着H(X*)是负半定的.同理,如果在点x=x̃处f被最小化,那么,g(0)≥0,使得,H(X̃)是半正定的.定理A2.11海赛矩阵负定与正定的充分条件定理A2.11海赛矩阵负定与正定的充分条件证明2024/9/19定理A2.12实值函数局部内点最优化的充分条件2024/9/19定理A2.13(无约束的)局部与全局最优化定理A2.14严格凹性/凸性与全局最优化的唯一性定理A2.15唯一全局最优化的充分条件A2.3约束最优化A2.4拉格朗日方法A2.3.6库恩—塔克条件A2.20受不等式条件约束的实值函数最优化的(库恩—塔克)必要条件A2.4值函数A2.21包络定理集合论的基本概念和基本结论微积分与最优化X*=f(x*1,x*2,…x*n)是一个稳定点[一阶条件]最优化有约束最优化微积分与最优化