开卷速查(选修4－1－2)直线与圆的位置关系A级基础巩固练1．[2014·江苏]如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.证明：因为B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.2．如图，点A是以线段BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，连接并延长AF与CB的延长线相交于点P.(1)求证：BF＝EF；(2)求证：PA是⊙O的切线．证明：(1)∵BE是⊙O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴eq\f(BF,DG)＝eq\f(CF,CG)，eq\f(EF,AG)＝eq\f(CF,CG)，∴eq\f(BF,DG)＝eq\f(EF,AG)，又∵G是AD的中点，∴DG＝AG.∴BF＝EF.(2)如图，连接AO，AB.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在Rt△BAE中，由(1)得知F是斜边BE的中点，∴AF＝FB＝EF.∴∠FBA＝∠FAB.又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠FAB＋∠BAO＝∠FAO＝90°，∴PA是⊙O的切线．3．如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于点D，割线EC交圆O于B，C两点．(1)证明：O，D，B，C四点共圆；(2)设∠DBC＝50°，∠ODC＝30°，求∠OEC的大小．解析：(1)证明：连接OA，OC，则OA⊥EA.由射影定理得EA2＝ED·EO.由切割线定理得EA2＝EB·EC，故ED·EO＝EB·EC，即eq\f(ED,EB)＝eq\f(EC,EO)，又∠OEC＝∠OEC，所以△BDE∽△OCE，所以∠EDB＝∠OCE.所以∠BDO＋∠OCB＝180°.所以O、D、B、C共圆．(2)连接OB.因为∠OEC＋∠OCB＋∠COE＝180°，结合(1)得∠OEC＝180°－∠OCB－∠COE＝180°－∠OBC－∠DBE＝180°－∠OBC－(180°－∠DBC)＝∠DBC－∠ODC＝20°.4．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2)；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π,2)，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF.所以EF2＝AD·BC.B级能力提升练5．[2014·课标全国Ⅰ]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．6．[2014·课标全国Ⅱ]如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而eq\o\ac(BE,\s\up15(︵))＝eq\o\ac(EC,\s\up17(︵)).因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·P