函数单调性1单调性定义（1）单调性定义：设函数得定义域为A，区间。如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上就是单调减函数．区间I叫做得单调减区间；如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上就是单调增函数．区间I叫做得单调增区间；单调增区间或单调减区间统称为单调区间。（2）函数得单调性通常也可以以下列形式表达：单调递增单调递减例1定义在上得函数对任意两个不相等实数，总有成立，则必有（）A、函数就是先增加后减少B、函数就是先减少后增加C、在上就是增函数D、在上就是减函数（3）增函数、减函数得定义及图形表示xy0x1x2f(x1)f(x2)xy0x1x2;f(x1)f(x2)增函数:减函数:注意：对于函数单调性定义得理解，要注意以下两点①函数得单调性就是对某一个区间而言得．f(x)在区间A与B上都就是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调．②单调性就是函数在某一区间上得性质，因此定义中得x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．=3\*GB3\*MERGEFORMAT③在研究函数得单调性时，应先确定函数得定义域xy12345-2-4-1-3-5123－1－2－3O例1下图就是定义在区间[-5，5]上得函数，根据图象说出函数得单调区间，以及在每个区间上，它就是增函数还就是减函数？例2已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（）A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一得实根例3已知函数就是定义在上得增函数,且,求得取值范围、例4已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a得取值范围就是________．(－∞，－1)∪(3,5)[解析]由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0,10－2a>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0,10－2a>0,a＋1>10－2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0,10－2a<0,a＋1>10－2a))∴a<－1或3<a<5、2函数单调性得证明方法（1）定义法：eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)变形（通常就是因式分解与配方）；eq\o\ac(○,4)定号（即判断差f(x1)－f(x2)得正负）；eq\o\ac(○,5)下结论（指出函数f(x)在给定得区间D上得单调性）．（2）图象法(从图象上瞧升降)例1判断函数在上得单调性,并用定义证明、例2试讨论函数在区间上得单调性．、解：设，且．∵x2－x1＞0，＞0，∴当时，，那么．当时，，那么．故在区间上就是增函数，在区间上就是减函数．例3已知函数用单调性定义证明：在上为增函数；解设，所以在上为增函数、例4证明函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)在(－∞，0)上就是增函数．设x1，x2就是区间(－∞，0)上得任意两个自变量得值，且x1<x2、则f(x1)＝2x1－eq\f(1,x1)，f(x2)＝2x2－eq\f(1,x2)，f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1－\f(1,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x2)))＝2(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－\f(1,x1)))＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,x1x2)))由于x1<x2<0，所以x1－x2<0,2＋eq\f(1,x1x2)>0，因此f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－∞，0)上就是增函数．例5函数f(x)得定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0、(1)求f(1)得值；(2)判断f(x)得单调性并加以证明；(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上得值域．解：(1)∵当x>0，y>0时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)，∴令x＝y>0，