第页共NUMPAGES5页南昌大学第八届高等数学竞赛（数学专业类2010级）试卷答案]序号：姓名：____学院:专业：学号：考试日期：2011年10月题号一二三四五六七八九总分累分人签名题分21101010101010109100得分考生注意事项：1、本试卷，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。计算题(每题6分，共18分)得分评阅人1、求极限2、若，且由方程确定的隐函数，求3、设，求解1、=2、=3、方程两边对求导，得于是二、若，证明得分评阅人由题设可见。由条件可知，对（），,当时，成立由此从而所以三、设函数在上一致连续，且，有（为正整数），试证：。得分评阅人由函数在上一致连续，则，，使得，当且时，有，作邻域，由有限覆盖定理，存在有限个覆盖区间。又对，总存在正整数n及，使得，故由有，对上述，，当时，有从而，当时，有于是，四、设函数在上连续，在存在且，则在上不一致连续。得分评阅人由知当时有取，，有，且五、设.（1）求出的所有间断点并判断其类型；（2）证明在[0，1]上可积、得分评阅人函数在有无限多个间断点：与0。第一类间断点（跳跃间断点）。，将分成两个区间：与。则在只有有限个间断点，从而在上可积，即对上述，（），，有任给分法T，使。在第k个小区间的振幅。，使。于是，即函数在可积。六、设，若有，，则在至少有两个零点。.得分评阅人由于（），故知在(0，)中至少有一个零点，否则与题设矛盾。若有一个零点，且的值不变号，又（），可推出，所以在(0，)中至少有一个零点，且函数值变号。若在(0，)中只有一个零点，且函数值变号，则在(0，)和(，)上同号，因此但我们有这一矛盾说明至少有两个零点。七、设在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且，，（(0，1)）.若在[0，1]上的最大值为>0，求证：对任意的自然数，(1)存在唯一的(0，1)，使得；(2)极限存在，并且)=。（1）令依题意(0，1)，使得，（并且由费马定理有）由零点定理，使得在[0，]用罗尔定理，有，使得（2）由于，知单调下降，从而所以是单调增加的有界数列，故存在。设，则由的连续性，有由，及知所以)==八、设，证明数列收敛。得分评阅人，，当时，有于是，当，有九、设在[0，1]上可微，且（），求证：得分评阅人由和知道（）设令则，从而（得出又所以（），即。