....高等数学课后习题及解答1.设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c表示2u-3v.解2u-3v=2〔a-b+2c〕-3〔-a+3b-c〕=5a-11b+7c.2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于M，AM=MC，DMMB.故ABAMMBMCDMDC.即AB//DC且|AB|=|DC|，因此四边形ABCD是平行四边形.3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点A连接.试以AB=c,BC=a表向量DA,DA,DA,DA.1234证如图8-2，根据题意知111BDa,DDa,DDa,151252351DDa,3451故DA=-〔ABBD〕=-a-c115....2a-cDA=-〔ABBD〕=-2253DA=-〔ABBD〕=-a-c3354DA=-〔ABBD〕=-a-c.4454.两点M1〔0，1，2〕和M2〔1，-1，0〕.试用坐标表示式表示向量MM及-2MM.1212MM=〔1-0，-1-1，0-2〕=〔1，-2，-2〕.解12-2MM=-2〔1，-2，-2〕=〔-2，4，4〕.125.求平行于向量a=〔6，7，-6〕的单位向量.a解向量a的单位向量为，故平行向量a的单位向量为aa1676=〔6，7，-6〕=,,，a11111111a6272(6)211其中.6.在空间直角坐标系中，指出以下各点在哪个卦限？A〔1，-2，3〕，B〔2，3，-4〕，C〔2，-3，-4〕，D〔-2，-3，1〕.解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点在第三卦限.7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出以下各点的位置：A〔3，4，0〕，B〔0，4，3〕，C〔3，0，0〕，D〔0，....-1，0〕.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比方xOy面上的点的坐标为〔x0，y0，0〕，xOz面上的点的坐标为〔x0，0，z0〕，yOz面上的点的坐标为〔0，y0，z0〕.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比方x轴上的点的坐标为〔x0，0，0〕，y轴上的点的坐标为〔0，y0，0〕，z轴上的点的坐标为〔0，0，z0〕.A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上.8.求点〔a，b，c〕关于〔1〕各坐标面；〔2〕各坐标轴；〔3〕坐标原点的对称点的坐标.解〔1〕点〔a，b，c〕关于xOy面的对称点〔a，b，-c〕，为关于yOz面的对称点为〔-a，b，c〕，关于zOx面的对称点为〔a，-b，c〕.〔2〕点〔a，b，c〕关于x轴的对称点为〔a，-b，-c〕，关于y轴的对称点为〔-a，b，-c〕，关于z轴的对称点为〔-a，-b，c〕.〔3〕点〔a，b，c〕关于坐标原点的对称点是〔-a，-b，-c〕.9.自点P〔x，y，z〕分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各0000垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F为点P0关于xOz面的垂线，垂足F坐标为(x，0，z〕；PD为点P关于xOy面的垂0000线，垂足D坐标为(x，y，0〕；PE为点P关于yOz面的垂线，垂0000....E(0yz).0oPAPxA(x0,0P00o0BPyB(0,y,0)PCPz0000C(0,0,z).010.PxyzzxOy00008-4P0zl.P0xOy.11.axOyxy.....28-5AB=aOA=OB=a2222A(a00)B(0,a0C-a00D22222220-a0Ea0aF0aaG-a22222a0aH0-a.212.M4-35.22Mxd1=(3)534My4252d2=41Mzd=42(3)2255.313.yOzA312B4-2-2C051.yOzP0yzPABCPA32(y1)2(z2)2,PB42(y2)2(z2)2,22PC(y5)(z1).....PAPBPC32(y1)(z2)242(y2)2(z2)22(y5)2(z1)29(y1)2