习题6—11、在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b.试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD,其中M是平行四边形对角线的交点.解：由于平行四边形的对角线互相平分,所以a+bAC2AM,即-(a+b)2MA,于是MA1(a+b).2因为MCMA,所以MC1(a+b).又因-a+bBD2MD,所以MD1(b-a).22由于MBMD,所以MB1(a-b).22、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.证：AMMC,BMMD，ADAMMDMCBMBCAD与BC平行且相等,结论得证.13、求起点为A(1,2,1)，终点为B(19,18,1)的向量AB与AB的坐标表达式.21解：AB=(191)i(182)j(11)k20i20j={20,20,0},AB={10,10,0}24、求平行于a={1，1，1}的单位向量.a1解：与a平行的单位向量为1,1,1.a35、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(1,1,1),B(1,1,1),C(1,1,1),D(1,1,1).解：A:Ⅳ;B:Ⅴ;C:Ⅷ;D:Ⅲ.6、求点M(x,y,z)与x轴，xOy平面及原点的对称点坐标.解：M(x,y,z)关于x轴的对称点为M(x,y,z)，关于xOy平面的对称点为M(x,y,z)，关于原点的12对称点为M(x,y,z).37、已知点A(a,b,c),求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）.解：分别为(a,b,0),(0,b,c),(a,0,c),(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c).8、过点P(a,b,c)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？推荐精选解：平行于z轴的直线上面的点的坐标：xa,yb,zR；平行于xOy面的平面上的点的坐标为zc,x,yR.9、求点P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.解：到原点的距离为35，到x轴的距离为41，到y轴的距离为25,到z轴的距离为29.10、求证以M(4,3,1)、M(7,1,2)、M(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.123解：MM2(74)2(13)2(21)214,MM2(57)2(21)2(32)261223MM2(45)2(32)2(13)26，即MMMM，因此结论成立.13132311、在yoz坐标面上，求与三个点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点的坐标.解：设yoz坐标面所求点为M(0,y,z)，依题意有|MA||MB||MC|，从而(03)2(y1)2(z2)2(04)2(y2)2(z2)2(03)2(y1)2(z2)2(00)2(y5)2(z1)2，联立解得y1,z2，故所求点的坐标为(0,1,2).12、z轴上，求与点A(-4,1,7),点B(3,5,-2)等距离的点.解：设所求z轴上的点为(0,0,z)，依题意：(04)2(01)2(z7)2(03)2(05)2(z2)2，1414两边平方得z，故所求点为(0,0,).9913、求使向量a{,1,5}与向量b{2,10,50}平行.151解：由a//b得得.21050514、求与y轴反向，模为10的向量a的坐标表达式.解：a=10(j)10j={0,10,0}.15、求与向量a={1，5，6}平行，模为10的向量b的坐标表达式.a110解：a0{1,5,6},故b10a01,5,6.a6262推荐精选16、已知向量a6i4j10k，b3i4j9k，试求：（1）a2b；（2）3a2b．解：（1）a2b6i4j10k2(3i4j9k)12i4j8k;（2）3a2b=3(6i4j10k)2(3i4j9k)=12i20j48k.17、已知两点A(2,2,5)和B(3,0,4)，求向量AB的模、方向余弦和方向角．121解：因为AB(1,2,