第一讲数列1、数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.2、数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，……，第项，…….3、数列的一般形式：或简记为，其中是数列的第项.4、数列的通项公式：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.并不是所有数列都能写出其通项公式；一个数列的通项公式有时是不唯一的；数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.5、数列是函数，它的图像是一群孤立的点；数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图像法.6、有穷数列：项数有限的数列;无穷数列：项数无限的数列.7、递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法.8、数列的前项和：数列中，称为数列的前项和，记为，数列的前项和公式也是给出数列的一种方法，且与之间的关系为：【例1】【基础班】根据下列数列的通项公式，写出前5项：(1);(2).【解析】由数列通项公式定义可知，只要将通项公式中依次取1,2,3,4,5，即可顺次得到数列的前5项.（1）当=1,,2,,3,4,5时，；.（2）当=1,,2,,3,4,5时，【提高班】已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项，并归纳出通项公式.【解析】题中已给出的第1项即，再由递推公式：依次计算.根据题意可知：；归纳得：.【尖子班】已知数列满足：，，则________;___________.【解析】本题主要考察周期数列等基础知识，属于创新题型.依题意得，，应填1,0.【例2】【基础班】已知数列的前项和（），求其通项公式.【解析】本题只需利用与的关系.（1）当=1时，;（2）当时，且；【提高班】已知在数列中，，通项公式是项数的一次函数，求数列的通项公式，并判断2008是不是数列的项.【解析】求可用待定系数法，然后用方程求解待定系数，考查2008是不是数列中的项，就是用方程来求.设，将代入得,解之得.假设2008是中的第项，由得，2008不是数列中的项.【方法点拨】在数列中有很多有关定量的问题，如本例求通项公式时，要用方程组求待定系数，考察某一个数是不是数列中的项也是用方程来确定，还有求某些项，这些问题有时候都得需要用方程来确定.【尖子班】已知数列，，求数列的通项.【解析】根据已知的递推公式，推出与之间的关系是解决问题的关键.由①得②，②-①得（），即，由，，，，，.【方法点拨】（1）由递推公式给出的数列求数列的通项时，若数列的特征不明显，可依据递推公式，先求出前面若干项，然后探究项与项数的规律，从而得到通项公式；（2）当递推公式结构复杂时，可以先上升一阶，然后作差看能否消去中间的一些项，得到连续两项之间的关系，这种方法称为阶差法.【拓展】五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为____________.【解析】由题意可设第次报数，第次报数，第次报数分别为，所以有，又由此可以得在报到第100个数时，甲同学拍手5次所以答案是5.【方法点拨】本题难度较大，难在总结得到递推公式，细读理解题意“每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和”，故设法是关键.【例3】已知的通项公式为，试问当为何值时，是递增数列？【解析】为递增数列的充分必要条件是对任意的正整数，都有恒成立，于是可以通过寻求恒成立的条件来得到的控制不等式组，再求解.由即恒成立.，当时，是递增数列.【例4】设函数，已知数列满足（），求数列的通项公式；数列有没有最小的项？若有，试求出；若没有，请说明理由.【解析】根据函数的表达式以及题设先求出，然后根据通项公式来判断有无最小项，要注意范围.（1）由已知得即，=，，.（）.(2)-=1-=1-,,<1,1->0,,即数列是单调递增数列，的最小项为.【方法点拨】判断数列有没有最小项，如同判断函数有没有最小值一样，这里采用的是单调法，也可直接比较与的大小，不过要注意用分子有理化变形，也还可以用作商比较法.【例5】数列的通项公式问是否存在这样的正整数N，使成立，证明你的结论.【解析】本题属于探索性问题，这类问题的解题思路是：先假设所探索的对象存在