第一讲：集合集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。1．集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1）确定性设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与aA仅有一种情况成立。（2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象即同一个集合中不应出现同一个元素.（3）无序性2．集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：NZQR应熟记。3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。4．子集、真子集及相等集（1）ABAB或A＝B；（2）ABAB且A≠B；（3）A＝BAB且AB。nnn5．一个n阶集合（即由个元素组成的集合）有2个不同的子集，其中有2－1个非空子集，也有2－1个真子集。6．集合的交、并、补运算ABxxA且xBABxxA或xBAxxI且xA要掌握有关集合的几个运算律：（1）交换律AB＝BA，AB＝BA；（2）结合律A（BC）＝（AB）C，A（BC）＝ABC；（3）分配律A（BC）＝（AB）（AC）A（BC）＝AB（AC）（4）0—1律A＝A，AI＝AAI＝I，A＝（5）等幂律AA＝A，AA＝A（6）吸收律AAB＝A，A（AB）＝A（7）求补律AA＝I，AA＝（8）反演律ABABABAB7．有限集合所含元素个数的几个简单性质设nX表示集合X所含元素的个数（1）nABnAnBnAB当nAB时，nABnAnB（2）nABCnAnBnC－nABnACnBCnABC8．映射、一一映射、逆映射（1）映射设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B。上述映射定义中的A、B，可以是点集，数集，也可以是其他集合。和A中元素a对应的B中的元素b叫做a（在f下）的象，a叫做b的原象。A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的。（2）一一映射设A、B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射。（3）逆映射设f：A→B是集合A到集合B上的一一映射，如果对于B中的每一个元素b，使b在A中的原象a和它对应，这样所得映射叫做映射1f：A→B的逆映射，记作f：B→A。注意：只有一一映射，才有逆映射。要能够根据这三个概念的定义，准确地判断一个给定的对应是不是映射，是不是一一映射，并能求出一一映射的逆映射。解题指导元素与集合的关系1．设A＝aa＝xyxyZ，求证：（1）2k1∈AkZ；22（2）4k2AkZ分析：如果集合A＝aa具有性质p，那么判断对象a是否是集合A的元素的基本方法就是检验a是否具有性质p。解：（1）∵kk1∈Z且2k1＝k2k12故2k1∈A；（2）假设4k2AkZ，则存在xyZ，使4k2＝xy22即xyxy22k1由于xy与xy具有相同的奇偶性，所以（）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一（）式右边只能被4除余2的数，故（）式不能成立。由此，4k2AkZ。方面，。已知xyN，x＞yx319yy319x判断2．设集合A＝（－3，2）a＝log1xy与集合A的关系。2分析：解决本题的关键在于由已知条件确定xy的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定a＝log1xy的范围。2解：因为x3y319xy且xyN，x＞y，所以x2x＜x2xyy2193x2由此及xN得x3从而y2.所以－3＜a＝log132log152即a∈A。223．以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②P中的元素有奇数有偶数；③－1P；④若x，y∈P则x＋y∈P试判断实数0和2与集合P的关系。解：由④若x，y∈P则x＋y∈P可知，若x∈P，则kxPkN（1）由①可设x，y∈P，且x＞0，y＜0，则－yx＝yxy∈N故xy－yx∈P由④0＝－yxxy∈P。（2）2P。若2∈P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当－（2k1）∈P（kN）时，－1＝（－2k1）＋2k∈P，与③矛盾。于是，由②知P中必有正奇数。设2m2n1PmnN，我们取适当正整数q，使q2m2n1，则负奇数2qm2n1P。前后矛盾。4．设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a∈S，b∈S，则ab∈S，abS；②对任一个有理数r，三个关系r∈S，－r∈S，r＝0有且仅有一个成立。证明：S