二项式定理PAGE\*MERGEFORMAT7知识点归纳1．二项式定理及其特例：（1），（2）2．二项展开式的通项公式：3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：∵，令，则题型讲解例1如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×=1+，得n=8设第r+1项为有理项，T=C··x，则r是4的倍数，所以r=0，4，8，有理项为T1=x4，T5=x，T9=点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r例2求式子（｜x｜+－2）3的展开式中的常数项解法一：（｜x｜+－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取，一个括号取－2，得CC（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+（－12）=－20解法二：（|x|+－2）3=（－）6设第r+1项为常数项，则T=C·（－1）r·（）r·|x|=（－1）6·C·|x|，得6－2r=0，r=3∴T3+1=（－1）3·C=－20例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+－4）4的展开式中的常数项；⑶求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数解：⑴原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C－1=14⑵（x+－4）4==，展开式中的常数项为C·（－1）4=1120⑶方法一：原式==展开式中x3的系数为C方法二：原展开式中x3的系数为C+C+C+…+C=C+C+…+C=C+C+…+C=…=C点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键例4求展开式中的系数解：令点评：①是展开式中的第项，②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，第4项的二项式系数是，第4项的系数为，二者并不相同例5求展开所得的多项式中，系数为有理数的项数解：依题意：，为3和2的倍数，即为6的倍数，又，，，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由得，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6求展开式中的系数解法一：故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240，解法二：，要使指数为1，只有才有可能，即，故的系数为，解法三：，由多项式的乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现，其它四个括号出现常数项，则积为的一次项，此时系数为点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用例7设an=1+q+q2+…+q（n∈N*，q≠±1），An=Ca1+Ca2+…+Can（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3<q<1时，求解：（1）因为q≠1，所以an=1+q+q2+…+q=于是An=C+C+…+C=［（C+C+…+C）－（Cq+Cq2+…+Cqn）］={（2n－1）－［（1+q）n－1］}=［2n－（1+q）n］（2）=［1－（）n］因为－3<q<1，且q≠－1，所以0<||<1所以=例8已知，求分析：在已知等式的左边隐含一个二项式，设法先求出n解：在中，令得点评：①记住课本结论：，②注意所求式中缺少一项，不能直接等于例9已知，求解：令时，有，令时，有∵∴点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三例10求展开式中系数最大的项解：设第项系数最大，则有，即又故系数最大项为点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项，的二项式系数相等且为最大小结：1在使用通项公式T=Cbr时，要注意：①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项②展开式中第r+1项的二项式系数C与第r+1项的系数不同③通项公式中含有