直线和圆的综合应用【例1】过点P(2，1)作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程．【思路分析】先设出直线l的直线方程，再求出A、B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值．【解析】设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，由于点P在直线上，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.所以eq\f(2,a)·eq\f(1,b)≤(eq\f(\f(2,a)＋\f(1,b),2))2＝eq\f(1,4)，当eq\f(2,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)，即a＝4，b＝2时，eq\f(1,a)·eq\f(1,b)取最大值eq\f(1,8)，即S△AOB＝eq\f(1,2)ab取最小值4，所以所求的直线方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.【方法归纳】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式．【举一反三】4.已知点P是曲线y＝x2－lnx上的一个动点，则点P到直线l：y＝x－2的距离的最小值为(B)A．1B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(3)【解析】设点P(x0，y0)，由题知y′＝2x－eq\f(1,x)，过点P的切线斜率为k＝2x0－eq\f(1,x0).由题知点P到l的距离最小时，过点P的切线与l平行．∴k＝2x0－eq\f(1,x0)＝1，∴x0＝1或－eq\f(1,2)(舍去)．∴P(1，1)，∴点P到直线l的距离为d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).故选B.体验高考(2011安徽)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．【解析】①令y＝x＋eq\f(1,2)，正确．②令k＝b＝eq\r(2)，y＝eq\r(2)x＋eq\r(2)过(－1，0)，不正确．③设y＝kx＋b过两个整点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，y1－y2＝k(x1－x2－eq\f(b,k))＋b.只需令eq\f(b,k)∈Z，即有y＝kx＋b过整点(x1－x2－eq\f(b,k)，y1－y2)．依此类推，可得无穷多整点，反之明显成立，正确．④由③知，需有eq\f(b,k)∈Z，若b，k均为无理数，不妨令b＝2k＝2eq\r(2)，则直线y＝eq\r(2)x＋2eq\r(2)仅过整点(－2，0)，不成立．由③知，正确．⑤如y＝eq\r(2)x，正确．故填①③④⑤.【举一反三】(2011重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦长为2，则该直线的方程为2x－y＝0．【解析】圆的方程化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，直线与圆相交弦长为2，所以直线过圆心，k＝2，∴直线方程为2x－y＝0.【例2】已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【思路分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式求导数即可．【解析】(1)①当l的斜率k不存在时显然成立，∴l的方程为x＝2；②当l的斜率k存在时，设l：y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由点到直线距离公式得eq\f(|－2k－1|,\r(1＋k2))＝2，∴k＝eq\f(3,4)，∴l：3x－4y－10＝0.故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).【方法归