复兴中学2023学年第二学期高一年级数学期末2024.06一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知等差数列{a}满足a+a=a2+1，则a=______．n37552．设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z=______．x4x33．已知sin=，cos=−，则角x是第______象限的角．25254．已知复数z满足z2+2z+3=0，则z⋅z=______．5．已知tanα=2，tan(α+β)=−1，则tanβ=______．6．记f(n)=1+2+3++(3n−1)+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f(n)>4n2的过程中，从n=k到n=k+1时，不等式左边的f(k+1)比f(k)增加了______项．7．已知a=(3,1)，b=(0,2)，则向量b在向量a方向上的数量投影为______．8．在数列{a}中，a==2，a2a(n≥1)，则aa+aa++aa=______．n1nn+11324101229．已知两点P(2,−1)，P(−1,3)，点P在直线PP上，且满足PP=PP，则点P的坐1212132标为______．10．在△ABC中，AB=23，AC=2且∠B=30°，则△ABC的面积等于______．11．若正项等比数列{a}满足：a+a=4，则a的最大值为______．n354π12．如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），∠DCB=，2且DC=CB，若AB=2，则OC⋅OD的取值范围为______．1二、选择题（本大题共4题，满分18分，其中第13-14题4分，第15-16题5分）π13．“α≠kπ+，k∈Z”是“实系数一元二次方程x2+2xsinα+1=0有虚根”的（）2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件14．下列四个函数中，以π为最小正周期的奇函数是（）A．y=sinxB．y=cos2xC．y=sinxD．y=sin2x15．等差数列{a}中，已知3a=7a，且a<0，则数列{a}前n项和S(n∈N,n≥1)中n5101nn最小的是（）A．S或SB．SC．SD．S7812131416．如图，已知△ABC与△AMN有一个公共顶点A，且MN与BC的交点O平分BC，12若AB=mAM，AC=nAN，则+的最小值为（）mn32A．4B．+23C．+2D．62三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知a=(2,0)，b=(1,1)，且a与b的夹角为45°，设m=a+λb，n=λa+b．（1）求y的值；（2）若m⊥n，求实数λ的值．218．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知i为虚数单位，z、z是实系数一元二次方程的两个虚根．12（1）设z、z满足方程4z+(1−i)z=9−5i，求z、z；121212（2）设z=1+2i，复数z、z所对的向量分别是a与b，若向量ta−b与a+2b的夹角为112钝角，求实数t的取值范围．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知{a}是等差数列，{b}是等比数列，且b=3，b=9，a=b，a=b．nn2311144（1）求{a}的通项公式；n（2）设c=a+(−1)nb(n≥1)，求数列{c}的前2n项和．nnnn320．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设向量a=(x,2)，b=(x+n,2x−1)(n∈N,n≥1)，函数y=a⋅b在x∈[0,1]上的最小值与{}9n−1最大值的和为a，又数列b满足b=1，b+b++b=．nn112n10（1）求证：a=n+1；n（2）求数列{b}的通项公式；n（3）设c=−a⋅b，试问数列{c}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都nnnn有c≤c成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．nk421．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4