新桥中学高二数学（选修1-2）教学案§2.1.1合情推理（2）—类比推理班级姓名一、问题情境据传：春秋时代鲁国的公输班接受了一项建筑宫殿的任务，这座宫殿需要很多木材，鲁班就让徒弟们上山砍伐树木。由于当时还没有锯子，他的徒弟就只能用斧头砍，但这样做效率非常低，远远不能满足工程的需要。为此，鲁班决定亲自上山察看砍伐树木的情况。上山的时候，由于不小心，无意中抓了一把山上长的一种野草，一下子将手划破了。鲁班很奇怪，为什么一颗小草这样锋利？于是他摘下一片一叶子来细心观察，发现叶子两边长着很多小细齿，用手轻轻一摸，这些细齿非常锋利，这使他大受启发，由此，发明了锯！在鲁班发明据的过程中蕴含了一种什么样的数学推理呢？二、数学建构1、类比推理（1）类比推理的定义根据（）对象之间在某些方面的或，或，象这样的推理通常称为类比推推演出它们在其他方面也理，简称类比法。（2）类比推理的思维过程观察、比较→→猜测新的结论2、合情推理合情推理是根据、、以及个人的和都是数学活动中常用的合等推测某些结果的推理过程。情推理。三、例题精讲例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式不等式(1)a=b?a+c=b+c(2)a=b?ac=bc(3)a=b?a=b22猜想uuuuur猜想uuuuur猜想uuuuur例2、试将平面上的圆和空间中的球进行类比圆和球在它们生成、形状、定义等方面都具有相似的属性。据此，在圆和球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：弦直径周长圆面积根据圆的性质：猜测球的性质如下：圆的性质球的性质圆心与弦（不是直径）的中点的连线垂直于弦球心与截面圆（不是大圆）的圆心的连线垂直于截面圆新桥中学高二数学（选修1-2）教学案与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心●如何进行类比推理？与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不相等的两截面圆不等；距球心较近的截面圆较大秋的切面垂直于经过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点●类比推理得到的结论一定是正确的吗？试举例说明。●类比推理的一般模式四、课堂反馈1、先解答（1），再通过类比解答（2）（1）已知正三角形的边长为a，求它的内切圆的半径r（2）已知正四面体的棱长为a，求它的内切球的半径r*2、（1）证明在等差数列{an}中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N)，则am+an=ap+aq；（2）通过类比，提出关于等比数列{an}的一个构想。新桥中学高二数学（选修1-2）教学案五、课后作业1、如果对象A和B都具有相同的属性P、Q、R等，此外已知对象A还有一个属性S，而对）象B还有一个未知的属性x，由类比推理，可以得到下列哪个结论可能成立？（（A）x就是P（B）x就是Q（C）x就是R（D）x就是S2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列那些性质比较恰当？（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。（A）①（B）①②（C）①②③（D）③3、对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和”（）（A）为定值（B）为变数（C）有时为定值，有时为变数（D）与正面体无关的常数4、对于平面几何中的命题“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何种，类比上述命题，可以得到命题：，这个类比命题的真假性是。5、已知：由图①有面积关系：S?PA'B'PA'?PB'=，试用类比的思想写出由图②所得的体积S?PABPA?PB关系VP?A'B'C'=VP?ABCBBB'PA'图②CB'AC'APA'图①6、定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形①②那么下列图形中，可以表示A*D、A*C的分别是③（④）新桥中学高二数学（选修1-2）教学案⑴⑵⑶（A）⑴、⑵（B）⑵、⑶（C）⑵、⑷7、（1）类比等差数列的定义，给出等和数列的概念；⑷（D）⑴、⑷求（2）利用等和数列的性质解题：已知数列{an}是等和数列，a1=2，公和为5。a18和Sn。8、在平面上，到定直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线；类比在空间，（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是什么？（2）到已知平面距离相等的点的轨迹是什么？9、等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性