第三章无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器设计1数字滤波器的数学描述：1)差分方程数字滤波器的一般概念1、h(n)；H(z)；H(ejω)2、设计滤波器的步骤考虑用IIR还是FIR?(2)设计H(z);(3)设计滤波器结构和精度;(4)实现递归系统IIR非递归系统FIR高通低通带通带阻按频率响应特性H(ejω)分类2、设计滤波器的步骤确定滤波器的性能要求,考虑用IIR还是FIR?设计H(z)逼近这个性能要求;(3)设计滤波器结构和精度;(4)实现1数字滤波器的技术指标：通带边界频率ωc阻带边界频率ωr通带波动δ最小阻带衰减AtIIR的设计方法通过模拟滤波器设计数字滤波器的方法最优化设计方法利用模拟滤波器的理论分两步：a)确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际频率响应的幅度特性(与所要求的理想频率响应的均方误差最小，3.1根据模拟滤波器设计IIR滤波器的映射关系应满足3.1.1脉冲响应不变法Ha(s)的映射关系满足要求了吗？S平面S平面上每一条宽为的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上:每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，轴映射到单位圆上，轴上每一段都对应于绕单位圆一周。S平面因为而所以脉冲响应不变法的映射过程为说明：z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与H(z)的关系，而不是Ha(s)本身与H(z)的关系因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由s平面到z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有一个s=f(z)代数关系式(2)混迭：数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：3.1.1脉冲响应不变法脉冲响应不变法的优点3.1.1脉冲响应不变法例模拟滤波器的频率响应为:示于图3.2(a)数字滤波器的频率响应为:显然与采样间隔T有关,如图3.2(b),T越小,衰减越大,混叠越小,当fs=24Hz,混叠可忽略不计。为什么会混迭呢?3.1.2双线性变换法通常取c=2/T,考虑z=ejω,时(2)3.1.2双线性变换法双线性变换法的优点:Ω与ω成非线性关系，导致：a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。例如，一个考尔型的模拟滤波器Ha(s)，双线性变换后，得到的H(z)在通带与阻带内都仍保持与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，即畸变。这种频率点的畸变可以通过预畸来加以校正。预畸变：将所要设计的数字滤波器临界频率点ωi，变换成对应的模拟域频率Ωi，利用此Ωi设计模拟滤波器再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器,其临界频率正是ωi双线性变换时频率的预畸置换过程:双线性变换法比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好其他情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换3.1.2双线性变换法3.2常用模拟低通滤波器特性模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。因果系统中定义振幅平方函数式中Ha(s)—模拟滤波器系统函数Ha(jΩ)—滤波器的频率响应|Ha(jΩ)|—滤波器的幅频响应又S=jΩ，Ω2=-S2∴A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ问题：由A(-S2)→Ha(S)对于给定的A(-S2)，先在S复平面上标出A(-S2)的极点和零点，由(1)式知，A(-S2)的极点和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的实轴和虚轴，选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到Ha(s)。为了保证Ha(s)的稳定性，应选用A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点可选用任一半。3.2模拟低通滤波器的设计3.2模拟低通滤波器的设计巴特沃思滤波器(Butterworth滤波器)图3.7巴特沃思