2011-4-1z问题的产生微分方程：直观，整理过程复杂，高阶系统求解困难。拉氏变换法可以将时域中的微分、积分运算转换为复域内简单的代数运算。2.2线性系统的复域模型拉式变换微分方程传递函数dSdt1dt∫S一、拉氏变换定义定义f（t）为时间t的函数，当t<0时，f（t）预备知识：=0；f（t）的拉氏变换定义为：∞L[f(t)]=F(s)=f(t)e−stdt拉式变换简介0∫S为复变量：s=σ+jω拉氏反变换：1σ+jωf(t)=L−1[F(s)]=F(s)×estds2πj∫σ−jω二、相关定理当t=0时，f(t)及其各阶导数均为零时，即1微分定理(n−1)f(0)=f&(0)=L=f(0)=0则dL[f（t）]=sF（s）−f（0）ddtL[f(t)]=sF(s)dtd2L[f(t)]=s2F(s)dt2…………dnL[f(t)]=snF(s)dtn12011-4-12积分定理从另外角度看，拉氏变量s可以视为微分算子ds≡dt如L[]f(t)=F(s)1/s可以视为积分算子则1t⎡t⎤F(s)≡dtLf(t)dt=s∫0⎣⎢∫0⎦⎥s3终值定理5线性定理若limf(t)=limsF(s)=t→∞s→0L[f1(t)]F1(s)L[f(t)]=F(s)4初值定理22则limf(t)＝f(0)=limsF(s)t→0s→∞××××L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)6延迟定理7卷积定理若L[f(t)]=F(s)若L[f(t)]=F(s)则L[f(t−τ)]=e−τs×F(s)11L[f(t)]=F(s)信号f(t)与它在时间轴上的平移信号f(t-T)的关系示意图22f(t)f(t-τ)时域函数的卷积分为tf1(t)*f2(t)=f1(t−τ)×f2(τ)dτ∫0tt则0τ0t××L[f1(t−τ)f2(τ)dτ]=L[f1(t)*f2(t)]=F1(s)F2(s)该定理说明，在时间域的平移变换在复数域有对应的∫0衰减变换。22011-4-1三、求拉普拉斯反变换的部分分式展开法求其反变换如果F(s)可以分解成为如下形式：B(s)K(s+z)(s+z)L(s+z)F(s)==12m=+++A(s)(s+p1)(s+p2)L(s+pn)F(s)F1(s)F2(s)LFn(s)P1,..Pn不同,F（s）的部分分式展开式并假定各分项的拉普拉斯反变换可以容易地求出，那么B(s)aaa==1+2++n−1[][][=−1+−1]+−1[]F(s)LLF(s)LF1(s)LF2(s)LLFn(s)A(s)s+p1s+p2s+pn称为留数，akpk称为极点=f1(t)+f2+Lfn(t)B(s)a=[(s+p)]=−kA(s)kspk拉普拉斯反变换练习s+3F(s)=z1传递函数的定义(s+1)(s+2)2s+3a1a2yy部分分式展开为F(s)==+d+d+=F(s+1)(s+2)s+1s+2mdt2fdtKy(t)i⎡s+3⎤⎡s+3⎤进行拉式变换，得：a1=⎢(s+1)⎥=⎢⎥=2(s+1)(s+2)s+22⎣⎦s=−1⎣⎦s=−1dy2'2Lsyssyy[]2=−−()(0)(0)sys()⎡s+3⎤⎡s+3⎤dta2=⎢(s+2)⎥==−1dy(s+1)(s+2)⎢s+2⎥Lsysy[]=−()(0)sys()⎣⎦s=−2⎣⎦s=−2dtLx[]=ys()−1−t−2t因此L[]F(s)=f(t)=2e−e(t>0)LF[]=F()sz2传递函数的通用形式(ms2++fsk)y()s=F()s对于一线性定常系统，可用微分方程来表示：dnydn−1ydya+a－+L+a−+ay=ys()1ndtnn1dtn−1n1dtnGs()==2Fs()ms+fsk+dmudm−1udub+b+L+b−+bumdtm1dtm−1m1dtm若系统的输入和输出以及他们的各阶导数在t=0时皆为零，z传递函数定义且有n>=m，令所有的初始条件全为零，即对于线性定常系统或元件，零初始条件下，系(n−1)y(0)=y&(0)=L=y(0)=0统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。(m−1)u(0)=u&(0)=L=u(0)=032011-4-1对方程两端逐项进行拉普拉斯变换。则有：3传递函数的性质nn−1(a0s+a1s+L+an−1s+an)Y(s)=一一对应