问题：[a,b]上单调函数除了跳跃度总和不超过，其任一分划所对应分点的函数值之差的总和是否必有限？前面已经看到，单调函数的导数虽然可积但却没有类似的牛顿-莱布尼兹公式，或者说，单调函数不能通过其导数的积分还原。那么，何种函数能满足牛顿一莱尼兹公式呢(当然，这里是相对于Lebesgue积分而言)？这正是下面要讨论的问题。定义:设是上的有限函数，对的任一分划，记称为f关于分划的变差。若存在常数M，使对一切分划，都有，则称为上的有界变差函数。令，其中取遍的所有分划，称为f在上的总变差。由定义不难看出，上有限单调函数f都是有界变差函数，且。性质1若f是上的有界变差函数，则f必为有界函数。证明：若不然，则存在使，由f是有界变差函数知对任意n，作的分划,则由，得。这与矛盾，故必为有界函数，证毕。性质2若都是上的有界变差函数，则对任意常数也是上的有界变差函数，且。证明：设为的任一分划，则证明：由性质1知存在M，使得，设为的任一分划：故，证毕。证明：若f不为常数，则存在使得或，作的分划，则，这与矛盾，故f必为常数，证毕。性质5设f是上的有界变差函数，，则，特别地，也f是上的有界变差函数。证明：任取的一个分划，对应到的一个分划，于是，进而，证毕。性质6设f是上的有界变差函数，c是内任一数，则。将合并起来得的一个分划，于是由及得，由的任意性立得。反之，对任意，设是的一个分划，满足，则对任意，存在，使得，于是进而，任由的任意性得，所以，证毕。性质7若是上的有界变差函数列，是有界数列，且处处收敛到，则g也是上的有界变差函数，且。所以，证毕。