向量数乘运算及其几何意义一、课前准备复习：⑴向量的相反向量是指与的向量，记作.零向量的相反向量是.⑵=，=.⑶若，则、是，且=.⑷向量加上的相反向量，叫做，即：.二、新课导学问题：已知非零向量，作出：①；②.新知：我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作：，它的长度和方向规定如下：⑴；⑵当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.思考：当时，的值是一个向量还是一个实数？根据实数与向量的积的定义，我们有以下的运算律：⑴；⑵；⑶.根据以上的运算律，填空：⑴=；⑵.例1计算：⑴；⑵；⑶.思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？新知：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使.例2已知两个两个向量和不共线，，，，求证：、、三点共线.变式：在四边形中，，，，证明：是梯形.练1.计算：⑴；⑵.练2.已知向量，不共线，问与是否共线？【达标检测】1.下列各式中不表示向量的是（）A.B.C.D.（，且）2.在中，、分别是、的中点，若，，则等于（）A.B.C.D.3.，，且、共线，则与（）A.共线B.不共线C.不确定D.可能共线也可能不共线4.若，与的方向相反，且，则=.5.已知，，，则与（填共线、不共线）.6.设是两个不共线向量，若向量，与向量共线，则实数的值为.平面向量正交分解及坐标表示一、课前准备复习1：向量、是共线的两个向量，则、之间的关系可以表示为.复习2：给定平面内任意两个向量、，请同学们作出向量、.二、新课导学问题：在复习2中，请大家想一想，平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？如下图，设、是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，通过作图，发现任一向量都可以表示成.新知1：平面向量基本定理平面向量基本定理：如果、是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使.其中，我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.理解此定理要注意：①、是同一平面内两个不共线的向量；②该平面内的任意向量都可以用、线性表示，且这种表示是唯一的；③对于基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.思考：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？新知2：两向量的夹角与垂直如图，已知两个非零向量和.作，，则叫做向量与的夹角.特别地，⑴当时，与同向；⑵当时，与反向；⑶当时，与垂直，记作：.在不共线的两个向量中，，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.例如把图中木块所受的重力分解为向下的力和对斜面的压力.思考：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？新知3：向量的坐标表示如图，根据平面向量基本定理，有且只有一对实数、使得，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作：，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.注意：符号在平面直角坐标系中有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区别，在叙述中，常说点，或向量.例1.已知梯形中，，且，、分别是、的中点，设，.试用为基底表示、.例2.已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标.练.在矩形中，与交于点，若，，则用和为____________.【达标检测】1.设是平行四边形两对角线与的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（）①与②与③与④与A.①②B.③④C.①③D.①④2.已知向量、不共线，实数、满足，则的值等于（）A.B.C.D.3.若、、为平面上三点，为线段的中点，则（）A.B.C.D.4.若、不共线，且，则，.5.已知两向量、不共线，，，若与共线，则实数=.6.已知向量，，其中、不共线，向量，问是否存在这样的实数、，使与共线？7.设、不共线，点在、、所在的平面内，且，求证：、、三点共线.平面向量的坐标运算一、课前准备复习：⑴向量是共线的两个向量，则之间的关系可表示为.⑵向量是同一平面内两个不共线的向量，为这个平面内任一向量，则向量可用表示为，则不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组.二、新课导学问题：已知，，能得出，，的坐标吗？新知：例1如图，已知，，求的坐标.小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的减去的坐标.变式：你能在上图中标出坐标为的点吗？标出点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？例2已