第一章1.21.2.1几个常用函数的导数A级基础巩固一、选择题1．已知物体的运动方程为s＝t2＋eq\f(3,t)(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为(D)A．eq\f(19,4)B．eq\f(17,4)C．eq\f(15,4)D．eq\f(13,4)[解析]∵s′＝2t－eq\f(3,t2)，∴s′|t＝2＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4)，故选D．2．以下结论中不正确的是(B)A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32B．若y＝eq\f(1,\r(x))，则y′|x＝2＝－eq\f(\r(2),2)C．若y＝eq\f(1,x2·\r(x))，则y′|x＝1＝－eq\f(5,2)D．若y＝x－5，则y′|x＝－1＝－5[解析]∵(eq\f(1,\r(x)))′＝(x－eq\f(1,2))′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)∴y′|x＝2＝－eq\f(\r(2),8)．故B错误．3．若f(x)＝eq\r(3,x)，则f′(－1)＝(D)A．0B．－eq\f(1,3)C．3D．eq\f(1,3)[解析]∵f(x)＝xeq\f(1,3)，∴f′(x)＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3)∴f′(－1)＝eq\f(1,3)(－1)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，∴选D．4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(B)A．1条B．2条C．3条D．不确定[解析]f′(x)＝3x2，∴3x2＝1，解得x＝±eq\f(\r(3),3)，故存在两条切线，选B．5．(2017·武汉期末)若f(x)＝x5，f′(x0)＝20，则x0的值为(B)A．eq\r(2)B．±eq\r(2)C．－2D．±2[解析]函数的导数f′(x)＝5x4，∵f′(x0)＝20，∴5xeq\o\al(4,0)＝20，得xeq\o\al(4,0)＝4，则x0＝±eq\r(2)，故选B．6．(2018·长春高二检测)曲线y＝eq\f(1,3)x3在x＝1处切线的倾斜角为(C)A．1B．－eq\f(π,4)C．eq\f(π,4)D．eq\f(5π,4)[解析]∵y＝eq\f(1,3)x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满意tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝eq\f(π,4)．二、填空题7．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)，且f′(a)－f(a)＝－2，则a＝1或－eq\f(1,2)．[解析]f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴f′(a)＝－eq\f(1,a2)，∴f′(a)－f(a)＝－eq\f(1,a2)－eq\f(1,a)，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a)＝2，解a＝1或－eq\f(1,2)．8．若曲线y＝x3的某一切线与直线y＝12x＋6平行，则切点坐标是(2,8)或(－2，－8)．[解析]设切点坐标为(x0，xeq\o\al(3,0))，由于y′＝3x2，所以切线的斜率k＝3xeq\o\al(2,0)，又切线与直线y＝12x＋6平行，所以3xeq\o\al(2,0)＝12，解得x0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．三、解答题9．将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹．若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大，求在2s末被扰动水面面积的增长率．[解析]设被扰动水面的面积为S，时间为t，依题意有S＝πR2＝36πt2，所以S′＝72πt，所以2s末被扰动水面面积的增长率为S′|t＝2＝144π(m2/s)．10．(2017·北京理，19(1))已知函数f(x)＝excosx－x，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程．[解析]由于f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0．又由于f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1．B级素养提升一、选择题1．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为(D)A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(3,3),3)C．eq\r(3)D．eq\f(\r(3,9),3)[解析]由导数的定义容易求得，曲线y＝x3－1