PAGEPAGE8第一章1.31.3.1函数的单调性与导数A级基础巩固一、选择题1．鄙人列结论中，正确的有(A)(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；(3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．A．0个B．2个C．3个D．4个[解析]分别举反例：(1)y＝lnx，(2)y＝eq\f(1,x)(x>0)，(3)y＝2x，(4)y＝x2，故选A．2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(A)A．a≤0B．a<1C．a<2D．a≤eq\f(1,3)[解析]f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0．3．(2017·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(B)A．0B．1C．2D．3[解析]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析成绩、解决成绩的能力．∵f(x)＝2x＋x3－2,0<x<1，∴f′(x)＝2xln2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内最少有一个零点，又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．4．以下函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(B)A．y＝sinxB．y＝xe2C．y＝x3－xD．y＝lnx－x[解析]对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B．5．(2018·商洛模拟)设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(B)[解析]由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象降落，f(x)递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先降落再上升，最初降落，函数f(x)递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最初小于0，可排除A；则B正确．故选B．6．若f(x)＝eq\f(lnx,x)，e<a<b，则(A)A．f(a)>f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)<f(b)D．f(a)f(b)>1[解析]由于f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，∴当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，由于e<a<b，所以f(a)>f(b)．选A．二、填空题7．(2018·无锡期末)函数f(x)＝x＋2cosx(0≤x≤2π)的单调递减区间为(eq\f(π,6)，eq\f(5π,6))．[解析]∵函数y＝x＋2cosx，∴y′＝1－2sinx＜0，∴sinx＞eq\f(1,2)，又∵x∈[0,2π]，∴x∈(eq\f(π,6)，eq\f(5π,6))，故答案为(eq\f(π,6)，eq\f(5π,6))．8．(2018·沙郊区校级期中)函数y＝x3－x2－x的单调增区间为(－∞，eq\f(1,3))，(1，＋∞)．[解析]由y＝x3－x2－x，∴f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x＋eq\f(1,3))(x－1)．令f′(x)＝0，解得x＝－eq\f(1,3)，1．列表如下：x(－∞，－eq\f(1,3))－eq\f(1,3)(－eq\f(1,3)，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：函数f(x)的单调递增是(－∞，－eq\f(1,3))，(1，＋∞)；故答案为(－∞，eq\f(1,3))，(1，＋∞)．三、解答题9．(2018·天津理，20(1))已知函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，其中a>1．求函数h(x)＝f(x)－xlna的单调区间．[解析]由已知，h(x)＝ax－xlna，有h′(x)＝axlna－lna．令h′(x)＝0，解得x＝0．由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)h′(x)－0＋h(x)极小值所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．10．(2017·长沙高二检测)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex．设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．[解析]∵f(x)＝(x2－2ax)ex，∴f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2