第三章等比数列等比数列的基本量运算点评【变式练习1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝3.求：(1)等比数列{an}的公比q；(2)a17＋a18＋a19＋a20的值．等比数列的判定与证明点评等比数列的公式及性质的综合应用(2)证明：因为S7＝27－1，S14＝214－1，S21＝221－1，所以S14－S7＝27(27－1)，S21－S14＝214(27－1)，所以S7·(S21－S14)＝214·(27－1)2＝(S14－S7)2，所以S7，S14－S7，S21－S14成等比数列．(3)因为f(n)＝bn＝4an＝2n＋1(n∈N*)，所以bn＝f(n)的图象是函数f(x)＝2x＋1的图象上的一列孤立的点(图略)．点评等差数列与等比数列的综合应用点评【变式练习4】已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn＜128.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q∈R)．由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.因为a4，a5＋1，a6成等差数列，所以a4＋a6＝2(a5＋1)，即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，即q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．所以q＝1.在等比数列{an}中，a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝__________2.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q＝____________.4.若数列{an}的前n项和可表示为Sn＝2n＋a，则{an}是否可能成为等比数列？若可能，求出a的值；若不可能，说明理由．本节内容主要考查数列的运算、推理及转化的能力与思想，考题一般从三个方面进行考查：一是应用等比数列的通项公式及其前n项和公式计算某些量和解决一些实际问题；二是给出一些条件求出首项和公比进而求得等比数列的通项公式及其前n项和公式，或将递推关系式变形转化为等比数列问题间接地求得等比数列的通项公式；三是证明一个数列是等比数列．1．等比数列常用的性质：(1)等比数列{an}中，对任意的m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝ap2.(2)对于等比数列{an}中的任意两项an、am，都有关系式an＝amqn－m，可求得公比q.但要注意n－m为偶数时，q有互为相反数的两个值．(3)若{an}和{bn}是项数相同的两个等比数列，则{an·bn}也是等比数列．