第七章第43讲函数的单调性x当b－1>1，即b>2时，x、f′(x)的变化情况如下表：求函数的单调区间，先找出函数的极值点，再判断在极值点邻近函数的变化趋势．本题是用导数研究函数单调性的常见问题，由于参数b的大小直接影响函数的单调区间，因此要对b进行分类讨论．函数的极值本题是以函数极值为背景考查分析问题的思维能力和对参数范围的识别能力．解答中有两处值得体会：一是极值点得导数等于0，但导数等于0的点不一定是极值点，故第一问需要检验；二是已知参数范围，恒成立问题求自变量的范围可以通过变量转化，也可以变量分离来求解．【变式练习2】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－1(a>0)，若f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围．函数的最值(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0.所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21.因此，f(7)＝3(16ln2－7)>16ln2－9＝f(1)，f(e－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)．所以在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)上，直线y＝b与y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)<b<f(1).因此，b的取值范围为(32ln2－21,16ln2－9)．此题重点考查利用导数研究函数的单调性、最值与方程根的问题．熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键．数形结合理解图象的性质是解题的一种策略．【变式练习3】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．(2)当a<0时，若x<0，则f'(x)<0；若x>0，则f'(x)>0.所以f(0)＝b是极小值．又f(－1)＝－a－6a＋b＝b－7a，f(2)＝b－16a，所以f(－1)<f(2)，所以f(0)＝b是最小值，f(2)＝b－16a是最大值．不等式的证明与恒成立问题(3)由(1)可知f(x)＝x2ex－1－x3－x2，故f(x)－g(x)＝x2ex－1－x3＝x2(ex－1－x)．令h(x)＝ex－1－x，则h'(x)＝ex－1－1.令h'(x)＝0，得x＝1.因为当x∈(－∞，1]时，h'(x)≤0，所以h(x)在(－∞，1]上单调递减．故当x∈(－∞，1]时，h(x)≥h(1)＝0；因为x∈[1，＋∞)时，h'(x)≥0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增．故当x∈[1，＋∞)时，h(x)≥h(1)＝0.所以对任意x∈(－∞，＋∞)，恒有h(x)≥0.又x2≥0，因此，f(x)－g(x)≥0.故对任意x∈(－∞，＋∞)，恒有f(x)≥g(x)．比较两个函数的大小时，要考虑两个函数的定义域，取其公共定义域，比较两函数的大小才有意义．本题两函数的定义域都是全体实数．作差是比较大小的常用方法，作差后再构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值、最值是解决不等式问题的重要思想方法．【变式练习4】已知函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，求b的取值范围．【解析】f'(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)．由条件a∈[－2,2]，可知方程4x2＋3ax＋4＝0的Δ＝9a2－64<0，从而4x2＋3ax＋4>0恒成立．当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0.1.若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________.5.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋1在区间(－∞，－2]上单调递增，在区间[－2,2]上单调递减，且b≥0.(1)求f(x)的解析式；(2)设0<m≤2，若对任意的x1、x2∈[m－2，m]不等式|f(x1)－f(x2)|≤16m恒成立，求实数m的最小值．1．一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导．如果f'(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则f(x)为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：①运用导数判断单调区间；②证明单调性；③已知单调性求参数；④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题．2．函数的单调性设函数f(x)是定义在(a，b)上的可导函数，则f‘(x)>0，(f’(x)<0)是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件．如f(x)＝x3在R上是增函数，但当x＝0时，f'(0)＝0.求单调区间的一般步骤：①求导数f'(x)；②在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0(f'(x)<