数学反证法本文从数学的发展史来阐述培养学生逆向思维的重要性;同时就如何培养学生逆向思维的能力,着重从三个方面来阐述。[关键词]逆向思维能力我们知道，欧氏平面几何是建立在五条公设基础上的，而它的定理是从这五条公理推出来的。自欧几里德的《几何原本》问世以来，许多数学家认为第五公设（平行公理--通过不在已知直线上的一点，只可引一条直线与此直线平行）是多余的，想从前面四条公设出发来证明第五条公设，在两千多年的时间里，数学家们费尽心血，但都一无所获。直到十八世纪，天才的俄罗斯数学家罗巴切夫斯基从前辈数学家和他自己的失败中，看到了把欧氏第五公设作为定理来证明也许是不可能的。这样，就促使他从欧氏第五公设的反面去思考，他大胆地引进了与欧氏第五公设完全相反的命题：过直线外一点至少可以作两条直线与原直线平行，试图通过证明此命题不成立，来达到间接地证明欧氏第五公设的目的，但是，他从欧氏的其它公设出发进行推理始终没有发现矛盾。罗巴切夫斯基敏感地觉察到了他已经发现了新的几何理论，他沿着这条?quot;传统"的思维方式截然相反的路子走了下去，终于创建了崭新的非欧几何学--罗氏几何。非欧几何的诞生是逆向思维的结果，大量的事实说明从反面来思考问题对推动数学的发展起到的重要作用。当代美国数学家和教育学家波利亚在《怎样解题》中指出?quot;归谬法和间接证法都是发明创造的有效工具。"因此在数学教学中注意培养学生的逆向思维能力，有意识地渗透从反面出发思考问题，对发展学生的智力，培养学生的能力起到重要的作用。一、加强反证法的教学我们知道，毕达哥拉斯学派自以为整数与整数之比已穷尽世界之数，但希腊数学家海帕斯关于无理数的发现，就是反证法为数学所建树的不可磨灭的功勋，使人们对数的认识从有理数域扩大到了实数域。反证法的特点是先提出与待证的结论相反的假设，然后推导与公理、定义、已证的定理或题设相矛盾的结果，这样，就证明了与待证的结论相反的假设不成立，从而肯定了原来求证的结论成立。因此它是逆向思维的重要方法。许多教师在教学中除在立体几何及不等式中谈及反证法之外，在其它章节的教学中很少涉及反证法，导致学生思考问题时很少想到应用反证法解题。因此在教学中，教师应有意识地编制一些应用反证法思想的问题，把它渗透到各个章节中去，对培养学生的逆向思维很有必要。二、注重分析法的应用用综合法证题，其基本思路是由题设出发，根据已知的定理与事实进行逻辑推理，最后推导出要证的结论。但是综合法从题设条件出发，可用的定理较多，推出的结论也往往较多，要从众多的结论中找到我们所需的结论，有时确实很有较大的困难，这就启发人们，能否从综合法的反面来考虑，从要证的结论出发，往回追溯题论条件。由于在一般条件下，每个结论所需的前题总是为数不多的几个，比较容易逐步回溯找到通向题设条件的途径，再反过来依此途径便可以提供一个由条件到结论的相应证明。这就是通过逆向思维原则产生?quot;分析法"的精神实质。"分析法"在解决一些比较复杂的综合问题以及在证明中都有发挥过重大的作用。最重要的事实是，古希腊数学之精华，欧氏几何的基础--《几何原本》就是古希腊数学家欧几里德在宏观范畴内拓广了的分析法而产生的。他把庞杂的在欧几里德以前已有了的一些定理和命题作了系统的整理，使它们按照逻辑关系的先后顺序统一建立在为数不多的几个公理之上。而这项工作，在某种意义上也是"逆向思维"的产物，这是由于欧几里德必须去寻找众多的定理和命题的逻辑关系，并沿着这种关系反过去追溯，一直到他们的共同的最初来源。在教学过程中，教师充分应用分析法，暴露思维过程，是培养学生良好思维品质的重要方法。三、注重反例的应用几何学中曾经盛传着限用直尺圆规作图的三大难题：三等分角问题，立方倍积问题，化圆为方问题，这三个问题足足流传了两千多年，使不少数学家费尽心机，绞尽脑汁，经过无数次的尝试，但结果都失败了。从而启发人们转向反向来考虑，试图用反例来否定它的可能性，一直到1637年笛卡尔发明了解析几何，开辟了用代数方法研究几何问题的新途径，同时也为构造反例增添了新的手段。两百年后，万芝尔举出反例，证明了用三等分任意角及立方倍积的不可能性：林德曼证明了是一个超越数，只这样一个反例，就足以证明了化圆为方用尺规作图的不可能性。至此，尺规作图的三大难题被彻底揭开，1895年，克莱因在总结了过去的研究后，给出了"三大难题"不可能用尺规作图的简单而明晰的证明，彻底地解决了两千多年的"悬案"。重要的反例往往也会成为数学殿堂的基石，微积分刚建立的时候，数学界曾长期错误地认为：连续函数除了个别点外总是处处可导的，但是，1872年德国数学家维尔斯特拉斯构造了一个"处处连续但不可导的函数"。这个反例震惊了数学界，促成了影响深远的"分析基础严密化"的数学运动。从上面两例可以看出，反例不仅在培养逆向思维能力中