(曲周县大河道乡中学,河北邯郸057250)摘要:反证法是中学数学的一种极其重要的方法,掌握了它对解数学题,特别是遇到的一些直接证明难于入手,甚至无法入手的问题,将使证明变得轻而易举。关键词:反证法;步骤;注意事项中图分类号:G633163文献标识码:B文章编号:1009—010X(2002)02-0061-02一、反证法步骤反证法一般证题步骤是:11假定原来命题的结论不成立;21根据假定出发,利用学过的定理,进行一系列严密的推理;31在推理的过程中出现下列一种矛盾:(1)与已知条件矛盾;(2)与已知公理或定理矛盾;(3)与临时的假定矛盾。41由于上述矛盾的出现,就可以断定原来假定“结论不成立”是错误的;51肯定原来命题的结论是正确。过程可简述如下:否定结论]A]B]C(而C不合理)]结论成立。二、反证法的种类当原命题的结论的反面只有一个,则将反面的一种情况驳倒就可以了,这种反证法叫做归谬法。当原命题的结论的反面不只一个,则必须将反面的各种情况一一驳倒,这种反证法叫做穷举法。三、反证法的注意事项注意一:“否定结论”是反证法的第一步,它的正确与否直接影响能否正确使用反证法。否定结论的步骤是:(1)弄清结论本身的情况;(2)找出结论的全部相反情况;(3)正确地否定上述结论。下面分析一些常见问题及易出现的错误,以引起大家的注意。例11设△ABC有一点P,使PB+PC>AB+AC,求证:P点必在ABC的外部。用反证法证明时,先否定结论得到P点不在△ABC“外部”但这句话不等于P点在△ABC的内部”,“。它的含义应该是:“在△ABC的内部”“在△ABC的任一边和上”以及P点在三角形的顶点上。,应这样考虑200212教育实践与研究学习方法指导浅议反证法黄如庆图1图211P点在△ABC的内部,如图(1)21P点在△ABC上(1)P在AC(或AB)上,如图(2);(2)P在BC上;(3)P在B点或C点上;(4)P在A点上。例21求证:一个三角形中至少有一个内角大于或等于60°。结论本身情况是“至少有一个”它的含义是,“只有一个”、“有两个”“有三个”它们的相反情况是或,“一个都没有”所以否定结论应是。“三角形中没有角大于或等于60°,也就是”“三角形所有的角都小于60°”。注意二:反证法中引出矛盾的结论,不是推理本身的错误,而是开始假定“结论的反面是正确的”是错误的。注意三:在反证法证题的过程中,经常画出某些不正确的图形,甚至是不可能存在的图形,这样做的目的,是为了能清楚地说明问题。在证明过程中,每一步推理所得结论的正确性,完全由它所依据的理由来保证,而不能借助图形的直观,这与用直接证法通过图形的直观,有利于找到证题的途径是不完全一样的。四、在什么情况下考虑用反证法11当问题惟一存在的时候可考虑用反证法。例31不重合的两条直线相交,只有一个交点。已知:如图(3),直线a、相交于一点P。b求证:直线a、只b有一个交点P。证明:假设直线a、图3b不只交于一点P,设有另一个交点Q,即直线a过Q、,直线b也过Q、,那么,经过两个点有两条PP直线,这与直线性质经过两点有一条直线,并且只有“一条直线”相矛盾。所以,假设直线a、交于另一点Q是不b成立的,即直线a、只有一个交点。b21当命题的结论涉及“至少”“至多”“无限”,可考时虑用反证法。(例41证明三角形中至少有一个角不大于60°注意:与例2问法不一样)。证明:假定三角形的三个内角都大于60°则三角形,的三个内角和必大于180°这与三角形内角和定理,“三角形三内角和等于180°相矛盾。”?61?在物理学中,为了表示具有相反意义的物理量,引入了正负号,由于涉及到的知识点多面广,情形往往比较纷繁芜杂,需要我们仔细甄别,体会含义、掌握用法。现就高中阶段正负号的用法归纳总结如下:一、正负号表示数值的大小,这是正负号的一种最常见、最基本的用法。物理学中有一些量,他们的数值大小只具有相对意义,没有绝对的意义,这时,需要事先定一个参考点(或面),把这一参考点(或面)赋值为零,其他情况再跟零比较,数值大于零者为正,数值小于零者为负。例如,重力势能为一物理量,它的数值大小就只有相对的意义,解题之前要先规定零势能面,即规定某一位置的重力势能为零,当物体运动到高于这一位置时,重力势能增加了,其值大于零,为正;当物体运动到低于这一位置时,重力势能减少了,其值小于零,为负;类似的正负号表示大小的物理量还很多,温度、高度、电势、电势能、分子势能等都是这样。二、正负号表示物理量的方向相反,物理学中有许多物理量都是矢量,既有大小又有方向,对于在同一条直线上的矢量,正负号代表着矢量的方向相反。这时,应先规∴假定三角形的三个内角都大于60°是不正确的。∴三角形中至少有一个角不大于60°。31命题的结论