模块复习课MOKUAIFUXIKE第3课时圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题课后篇巩固提升1.若直线y=x+m与椭圆=1相切,则实数m的值等于()A.±6B.±C.±D.±4答案B解析由消去y,得3x2+4mx+2m2-4=0,因此有Δ=-8m2+48=0,解得m=±.2.直线y=2x与双曲线-y2=1公共点的个数为()A.0B.1C.2D.4答案A解析双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,焦点在x轴上,由图形知,直线y=2x与该双曲线无公共点.3.过双曲线x2-y2=1的顶点分别作其渐近线的垂线,则两条垂线段与渐近线所围成矩形的面积等于()A.B.C.1D.答案A解析因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条渐近线为y=x,所以点(1,0)到直线y=x的距离为,所以围成矩形的面积是.4.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,A,B为左、右顶点,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点.若PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,m=k1k2k3,则m的取值范围为()A.(0,3)B.(0,)C.D.(0,8)答案A解析因为e==2,所以b=a,设P(x,y),则=1,k1k2==3,又双曲线的渐近线为y=±x,所以0<k3<,故0<m<3.5.F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P(x,y)是直线x+y-2=0(x≠2,x≠±1)上的动点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,则的值为()A.2B.C.-D.随点P的位置而变化答案A解析由已知得F1(-1,0),F2(1,0),则有k1=,k2=,因此,又因为P(x,y)在直线x+y-2=0上,所以=2.6.设椭圆C:=1的长轴两端点为M,N,P是椭圆C上任意一点,则PM与PN的斜率之积为.答案-解析M(-2,0),N(2,0),设P(x0,y0),于是kPM·kPN===-.7.已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长度等于.答案解析椭圆右焦点为(,0),所以整理得5x2-8x+8=0,所以|AB|=|x1-x2|=.8.已知椭圆=1(a>b>0)经过点A(2,1),离心率为,过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M,N.(1)求椭圆的方程;(2)若|MN|=,求直线MN的方程.解(1)由题意有=1,e=,a2-b2=c2,解得a=,b=,c=,所以椭圆方程为=1.(2)由直线MN过点B且与椭圆有两个交点,可设直线MN方程为y=k(x-3),代入椭圆方程整理得(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0,Δ=24-24k2>0,得k2<1.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,|MN|===,解得k=±,满足k2<1,故所求直线方程为y=±(x-3).9.已知椭圆Ε:=1(a>b>0)的半焦距为c,原点Ο到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆Ε的离心率;(2)如图,ΑΒ是圆Μ:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆Ε经过Α,Β两点,求椭圆Ε的方程.解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点Ο到直线的距离d=,由d=c,得a=2b=2,解得离心率e=.(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(-2,1)是线段ΑΒ的中点,且|AB|=.易知,ΑΒ不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得,解得b2=3.故椭圆E的方程为=1.10.已知椭圆C:=1(a>b>1)的焦距为4,其左、右顶点分别为A1(-3,0),A2(3,0),一条不经过原点的直线l:y=kx+m与该椭圆相交于M,N两点(如图).(1)求椭圆C的方程.(2)若m+k=0,直线A1M与NA2的斜率分别为k1,k2.试问:是否存在实数λ,使得k1+λk2=0?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解(1)因为椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为4,所以2c=4,解得c=2.因为椭圆的左、右顶点分别为A1(-3,0),A2(3,0),所以a=3.又b2=a2-c2=9-8=1,所以椭圆C的方程为+y2=