习题课——抛物线的综合问题课后篇巩固提升基础巩固1.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则此动圆必过定点()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,0)解析如图,圆心C在抛物线上,设与直线x+2=0相切的切点为A,与x轴交点为M,由抛物线的定义可知,CA=CM=R,直线x+2=0为抛物线的准线,故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0).故选B.答案B2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则它被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.61解析由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16.答案B3.若动圆与圆(x-2)2+y2=1相外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.y2=-4xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=8x解析设动圆圆心为O,半径为r,圆(x-2)2+y2=1的圆心为F(2,0),则|OF|=r+1,因为O到直线x+1=0的距离为r,所以O到直线x+2=0的距离为r+1,则动点O到定点(2,0)的距离等于到直线x+2=0的距离,故动点O的轨迹为抛物线,焦点为F(2,0),准线为x=-2,轨迹方程为y2=8x.故选D.答案D4.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且|AF|,4,|BF|成等差数列,则k=()A.2或-1B.-1C.2D.1±解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0,故Δ=16(k+2)2-16k2=64(1+k)>0,解得k>-1,且x1+x2=由|AF|=x1+=x1+2,|BF|=x2+=x2+2,且|AF|,4,|BF|成等差数列,得x1+2+x2+2=8,得x1+x2=4,所以=4,解得k=-1或k=2,又k>-1,故k=2,故选C.答案C5.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)解析圆心到抛物线准线的距离为p,即4,根据已知只要|FM|>4即可.根据抛物线定义,|FM|=y0+2,由y0+2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2,+∞).答案C6.焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上一点M在准线上的射影为N,若|MN|=p,则|FN|=.解析由条件知|MF|=|MN|=p,MF⊥MN,在△MNF中,∠FMN=90°,得|FN|=p.答案p7.若P为抛物线y2=4x上一动点,则点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值等于.解析易知点A在抛物线外.∵点P到x=-1的距离等于点P到焦点F(1,0)的距离,∴点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和为点P到焦点F(1,0)的距离和到点A(2,3)的距离之和减1.当且仅当A,P,F三点共线(点P在线段AF上)时,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和最小,∴点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值为|AF|-1=-1.答案-18.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB等于.解析由|OA|=|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称.设A,B,a>0,则S△AOB=2a=16,解得a=4.所以△AOB为等腰直角三角形,∠AOB=90°.答案90°9.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若|AF|=4,求点A的坐标;(2)若直线l的倾斜角为45°,求线段AB的长.解由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+,从而x1=4-1=3,代入y2=4x,解得y1=±2∴点A的坐标为(3,2)或(3,-2).(2)直线l的方程为y-0=tan45°(x-1),即y=x-1.与抛物线方程联立,得整理得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6.由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=6+2=8,∴线段AB的长是8.10.动圆P与直线x=-1相切,点F(1,0)在动圆上.(1)求圆心P的轨迹Q的方程;(2)过点F作曲线Q的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N,