//第二章平面向量章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．有关向量的注意点(1)零向量的方向是任意的．(2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量．(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量．2．向量的运算律中的注意点(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c).精品//专题一有关向量共线问题有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔xy－xy＝0.1221[例1]已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．解：法一：向量ka＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．因为ka＋2b＝4(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6，2k＋4)．2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，所以(k－6，2k＋4)＝λ(14，－4)．1k－6＝14λ，λ＝－，所以解得22k＋4＝－4λ，k＝－1.即实数k的值为－1.法二：因为ka＋2b＝k(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6，2k＋4)，2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，ka＋2b与2a－4b平行，所以(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得k＝－1.归纳升华1．向量与非零向量a共线⇔存在唯一实数λ使b＝λa.2.在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a＝(x，y)与b＝(x，y)共线⇔xy－112212xy＝0.21[变式训练]平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)因为a＝mb＋nc，所以(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)．5m＝，－m＋4n＝3，9所以解得2m＋n＝2，8n＝.9(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)．16所以2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－.13专题二有关向量的夹角、垂直问题非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)的夹角为θ，则1122a⊥b⇔a·b＝0⇔xx＋yy＝0，1212精品//a·bxx＋yycosθ＝＝1212.|a||b|x2＋y2·x2＋y21121[例2]已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，|a＋b|＝13，求向量a＋b与a－b的夹角θ的余弦值．解：由已知|a|＝3，|b|＝2，|a＋b|＝13，所以(a＋b)2＝13.所以a2＋2a·b＋b2＝13，则(3)2＋2a·b＋22＝13，得2a·b＝6.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝(3)2－6＋22＝1，所以|a－b|＝1.（a＋b）·（a－b）a2－b2（3）2－2213所以cosθ＝＝＝＝－.|a＋b||a－b|13×11313归纳升华1．本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线构成的向量的夹角，通过模的平方，沟通了向量的模与向量内积之间联系；2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不同的.22[变式训练](1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()3ππ3πA.B.C.D．π424(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________．22(1)解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又因为|a|＝|b|，设3〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，822所以|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0.332π所以cosθ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.242(2)因为a⊥b，所以a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，所以x＝－.32答案：A(2)－3专题三有关向量的模的问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋