习题课(四)一、选择题1．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－eq\f(1,3)，则cos2α＝()A.eq\f(\r(17),9)B．－eq\f(\r(17),10)C．－eq\f(\r(17),9)D.eq\f(\r(17),10)答案：A解析：因为cosα＋sinα＝－eq\f(1,3)，α∈(0，π)，所以sin2α＝－eq\f(8,9)，cosα<0，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，所以2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，所以cos2α＝eq\r(1－sin22α)＝eq\f(\r(17),9).故选A.2．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝eq\f(3,5)，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝()A.eq\f(24,25)B．－eq\f(24,25)C．－eq\f(12,25)D.eq\f(12,25)答案：B解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝eq\f(3,5)，∴sinβ＝－eq\f(3,5).又β是第三象限角，∴cosβ＝－eq\f(4,5)，∴sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sinβcosβ＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(24,25).3．已知角α，β均为锐角，且cosα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，则tanβ＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(9,13)C.eq\f(13,9)D．3答案：D解析：由于α，β均为锐角，cosα＝eq\f(3,5)，则sinα＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(4,3).又tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tanα－β,1＋tanαtanα－β)＝eq\f(\f(4,3)＋\f(1,3),1－\f(4,3)×\f(1,3))＝3.故选D.4．函数f(x)＝cos2x＋sin2x＋2(x∈R)的值域是()A．[2,3]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))C．[1,4]D．[2,4]答案：A解析：因为f(x)＝cos2x＋sin2x＋2＝3－2sin2x＋sin2x＝3－sin2x，sinx∈[－1,1]，所以f(x)∈[2,3]．故选A.5．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两根，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β等于()A.eq\f(π,3)B．－eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)或－eq\f(2π,3)D．－eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)答案：B解析：由题意，得tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)，tanαtanβ＝4，∴tanα<0且tanβ<0.又∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α，β∈(－eq\f(π,2)，0)．tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3)，又知α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－eq\f(2π,3).6．化简eq\r(2＋cos2－sin21)的结果是()A．－cos1B．cos1C.eq\r(3)cos1D．－eq\r(3)cos1答案：C解析：原式＝eq\r(1＋cos21＋2cos21－1)＝eq\r(3cos21)＝eq\r(3)cos1.二、填空题7．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，则sin2x＝________.答案：－eq\f(7,25)解析：∵sineq\b\lc\(\rc\)(