数列中的类比推理例1.在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式成立.分析本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：等差数列用减法定义性质用加法表述（若且则）；等比数列用除法定义性质用乘法表述（若且则）.由此，猜测本题的答案为：事实上，对等差数列，如果，则.所以有：）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立.评注本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列而得到等比数列的新的一般性的结论。例2.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列｛a｝等和数列，且，公和为5。那么的值为_______________，这个数列前n项和的计算公式为_______________。分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法。解：∵｛a｝是等和数列，，公和为5，∴，则，，…知，（n∈N*）。∴＝3，数列｛a｝形如：2，3，2，3，2，3，……。∴。评注:这是一道新情境题型，关键要吃透定义，对于n为奇数时，。本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。例3.若数列是等差数列，则有数列类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有数列解析：由已知“等差数列前n项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到评析：本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口。函数中的类比推理例4（2003年上海春招高考题）设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为.分析此题利用类比课本中推导等差数列前项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算：，，，发现正好是一个定值，，.评注此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的考查放在了突出的位置.本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题.这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有效于发展学生创新的思维。例5：已知为常数，且，问是不是周期函数，若是，求出周期，若不是说明理由。分析：由联想到，找到一个具体函数，=，而函数猜想是一个周期为的函数。这样方向明，思路清。证明：，例4（2003年上海春招高考题）已知函数，.证明是奇函数，并求的单调区间.分别计算和的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明.分析（1）略；（2）分别计算得和的值都为零，由此概括出对所有不等于零的实数有：如果将式子中的5改成字母，可进一步推广.评注由数字型向字母型类比推广相当于从特例向一般推广，但其实质都是一般化策略.正如波利亚在其《怎样解题》中所阐述的一般化思想：“一般化就是从考虑一个对象，过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小的集合的更大集合。”四、立体几何中的类比推理例10.（2002年上海春招题）若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点、与点、，则三角形面积之比为：.若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点、与点、和、，则类似的结论为：.分析在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想.(证明略)评注本题主要考查由平面到空间的类比.要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论.又在2004年广东高考数学中出现本题的类题。例11.（2003年全国高考题）在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则.”分析关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形；面边体积面积；二面角平面角面积线段长；……由此，可类比猜测本题的答案：（证明略）.评注本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广，因此平时的教学与复习中要注意类比等思想方法的学习，更要注意研究性学习在数学中的适时切入。解析几何中的类比推理例14.（2003年上海春招题）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆