一、教学内容函数图象与性质的综合应用（一）二、学习指导1．函数性质是函数的重点内容，它包括函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和对称性，函数图象是研究函数性质的直观工具，函数问题已成为高考永恒的热点、重点考查的内容之一，在选择题、填空题和解答题三种题型中每年都有试题.主要考查的内容有函数、反函数的概念及性质，函数的图象及变换和以基本初等函数出现的综合题及应用题等，同时考查基本数学思想方法的运用及分析问题、解决问题的能力，试题设计新颖，体现了课改的方向.2．理解映射、一一映射、函数、反函数的有关概念及其联系.映射是一种多对一和一对一的对应，函数是一个特殊的映射，只有当确定函数的映射是一一映射时，函数才具有反函数，反函数的定义域、值域是原函数的值域和定义域，且有f（a）＝bf－1（b）＝a.3．掌握基本初等函数的图象，能熟练地运用函数图象的平移、对称、伸缩等变换画函数的图象，会自觉运用图象研究函数的性质（如定义域、值域、蛋调性、奇偶性等），讨论方程的解的个数及解不等式等.三、典型例题【例1】2005年·湖南设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝eq\f(SΔPBC,S△ABC)，λ2＝eq\f(S△PCA,S△ABC)，λ3＝eq\f(S△PAB,S△ABC)，定义f（p）＝（λ1，λ2，λ3）.若G是△ABC的重心，f（Q）＝（eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6)），则（A）A．点Q在△GAB内B．点Q在△GBC内C．点Q在△GCA内D．点Q与G重合【解析】利用特殊值法，假设△ABC是边长为1的正三角形，易判断点Q在△GAB内.【评析】本题考查了映射的定义及运用“新定义”分析、解决问题的能力.在正确理解“新定义”的基础上，通过特殊三角形，运用筛选法求解.变式题由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4＝(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4，定义映射f（a1，a2，a3，a4）→b1+b2+b3+b4，则f（4，3，2，1）＝（）A．10B．7C．－1D．0【例2】2005年·天津设f－1（x）是函数f（x）＝eq\f(1,2)（ax－a－x）（a＞1）的反函数，则使f－1（x）＞1成立的x的取值范围为（A）A（eq\f(a2-1,2a)，+∞）B（－∞，eq\f(a2-1,2a)）C（eq\f(a2-1,2a)，a）D［a，+∞）【分析】思路一：先求f－1（x），再解不等式f－1（x）＞1.思路二：利用反函数的定义，转化为求f（x）（x＞1）的值域.解法一：先求得f－1（x）＝loga（x+eq\r(x2+1)）（a＞1），由f－1（x）＞1得loga（x+eq\r(x2+1)）＞logaa，∴x+eq\r(x2+1)＞a，解得x＞eq\f(a2-1,2a).解法二：∵a＞1，∴f（x）＝eq\f(1,2)（ax－a－x）为增函数，根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，由f－1（x）＞1，即在x＞1的条件下求f（x）的值域.∴f（x）＞f（1）＝eq\f(1,2)（a－a－1）＝eq\f(a2-1,2a).【评析】本题考查反函数的概念以及解不等式的能力.解法二巧妙地利用函数与反函数定义域、值域的关系，以及函数的单调性，起到了事半功倍的效果.变式题设f－1（x）是函数f（x）＝eq\r(x)的反函数，则以下不等式中恒成立的是（）A．f－1（x）≤2x－1B．f－1（x）≤2x+1C．f－1（x）≥2x－1D．f－1（x）≥2x+1【例3】2005年·湖北函数y＝e︱lnx︱－︱x－1︱的图象大致是（D）图1－2－1【解析】法一：当x≥1时，y＝1，根据图象排除C，取x＝eq\f(1,2)时，y＝eq\f(3,2)＞1，排除A，B，故选D.法二：由已知得y=结合图象选D.【评析】处理选图问题，通常有两种方法：方法一是采用选特殊点或利用函数性质排除，方法二直接作函数的图象.变式题2005年·辽宁一给定函数y＝f（x）的图象在下列图中，并且对任意an∈（0，1），由关系式an+1＝f（an）得到的数列{an}满足an+1＞an（n∈N*），则该函数的图象是（）ABCD图1－2－2【例4】2005年·上海对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f（x），y＝g（x）.规定：函数h（x）＝（1）若函数f（x）＝eq\f(1,x-1)，g（x）＝x2，写出函数h（x）的解析式；（2）