第二课时直线与椭圆的综合问题考向一椭圆与向量的综合问题【典例1】(1)(2016·济宁模拟)P为椭圆=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则的取值范围是()A.[0,15]B.[5,15]C.[5,21]D.(5,21)(2)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则的最大值为()【解题导引】(1)利用化简可知通过a-c≤||≤a+c,计算即得结论.(2)由已知求出点A的坐标并设出点P的坐标,然后将用坐标表示,根据点P坐标的范围即可求出的最大值.【规范解答】(1)选C.因为a-c≤||≤a+c,即3≤||≤5,所以的范围是[5,21].(2)选B.由椭圆方程知c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0).因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2,则可设A(1,y0),代入椭圆方程可得,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),所以=y1y0.因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,的最大值为【规律方法】解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)设出动点坐标,求出已知点的坐标.(2)写出与题设有关的向量.(3)利用向量的有关知识解决与椭圆、直线有关的问题.(4)将向量问题转化为实际问题.【变式训练】1.(2016·枣庄州模拟)椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上任一点,则的取值范围是()A.(0,4]B.(0,3]C.[3,4)D.[3,4]【解析】选D.因为椭圆=1的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),设P(2cosθ,sinθ),θ∈R.所以=(-1-2cosθ,-sinθ),=(1-2cosθ,-sinθ),所以因为θ∈R,cos2θ∈[0,1],4-cos2θ∈[3,4],所以的取值范围是[3,4].【加固训练】1.已知椭圆的右焦点F(m,0),左、右准线分别为l1:x=-m-1,l2:x=m+1,且l1,l2分别与直线y=x相交于A,B两点.(1)若离心率为,求椭圆的方程.(2)当<7时,求椭圆离心率的取值范围.【解析】(1)由已知,得c=m,=m+1,从而a2=m(m+1),b2=m.由e=,得b=c,从而m=1.故a=,b=1,故所求椭圆方程为+y2=1.(2)易得A(-m-1,-m-1),B(m+1,m+1),从而=(2m+1,m+1),=(1,m+1),故=2m+1+(m+1)2=m2+4m+2<7,得0<m<1.由此离心率e=故所求的离心率取值范围为2.已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率.(2)若求椭圆的方程.【解析】(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e=(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=设B(x,y).由得(c,-b)=2(x-c,y),解得即将B点坐标代入=1,得=1,即=1,解得a2=3c2①.又由=(-c,-b)·得b2-c2=1,即有a2-2c2=1②.由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为考向二直线与椭圆中的参数问题【典例2】(2014·全国卷Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率.(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.【解题导引】(1)由斜率条件可得到a,b,c的关系式,然后由b2=a2-c2消去b2,再“两边同除以a2”,即得到关于离心率e的二次方程,由此解出离心率.(2)利用“MF2∥y轴”及“截距为2”,可得yM==4,然后求出M,N点坐标,代入椭圆方程即可求出a,b的值.【规范解答】(1)因为由题知,所以又a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0,解得e=.所以C的离心率为.(2)由三角形中位线知识可知,|MF2|=2×2,即=4.设|F1N|=m,由题可知|MF1|=4m.由两直角三角形相似,可得M,N两点横坐标分别为c,-c.所以M(c,4),代入椭圆方程,得两式相减得:再结合=4,及a2=b2+c2,可求得:a=7,b=2【规律方法】确定直线与椭圆中有关参数的方法1.依据题设中的条件,建立与参数有关的方程.2.解方程可求得参数的值(注意椭圆中的隐含条件a2=b2+c2).【变式训练】如图,F