第十节变化率与导数、导数的计算【知识梳理】1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处导数的定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率_______________=为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或即f′(x0)==_____________.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的___________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为___________________(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)=________________为f(x)的导函数.2.基本初等函数的导数公式原函数3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′=_______________.(2)[f(x)·g(x)]′=______________________.(3)=_______________________________.4.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=__________.【特别提醒】1.函数在点P处的切线与过点P的切线的区别曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以f′(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0)不一定是切点.2.f′(x)的符号及大小的意义函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.【小题快练】链接教材练一练1.(选修2-2P18习题1.2A组T5改编)已知f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0等于()A.e2B.eC.D.ln2【解析】选B.f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,由f′(x0)=2,即lnx0+1=2,解得x0=e.2.(选修2-2P19习题1.2B组T2改编)若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.【解析】令f(x)=y=ax2-lnx,得f′(x)=2ax-,所以f′(1)=2a-1=0,得a=.答案：感悟考题试一试3.(2016·威海模拟)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为.【解析】因为y′=3x2-1,所以y=x3-x+3在点(1,3)处的切线的斜率k=2,所以切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.答案:2x-y+1=04.(2015·天津高考)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数,若f′(1)=3,则a的值为.【解析】因为f′(x)=a(1+lnx),所以f′(1)=a=3.答案:35.(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.【解析】y′=1+,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线斜率为k=y′=1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立得ax2+ax+2=0,显然a≠0,所以由Δ=a2-8a=0⇒a=8.答案:8考向一导数的计算【典例1】求下列函数的导数.(1)y=lnx+.(2)y=(2x2-1)(3x+1).(3)y=x-sincos.(4)y=.(5)y=ln(2-3x).【解题导引】(1)直接求导.(2)(3)化简后再求导.(4)利用商的导数运算法则求解.(5)利用复合函数的求导法则求解.【规范解答】(1)y′=(2)因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,所以y′=(6x3+2x2-3x-1)′=(6x3)′+(2x2)′-(3x)′-(1)′=18x2+4x-3.【一题多解】解答本题,还有以下方法:y′=(2x2-1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.(3)因为y=x-sincos=x-sinx,所以=x′-=1-cosx.(4)y′=(5)设y=lnu,则y=ln(2-3x)是由y=lnu与u=2-3x复合而成,所以y′x=y′u·u′x=(lnu)′·(2-3x)′【规律方法】导数计算的原则和方法(1)原则:先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导.(2)方法:①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;②