第二课时利用向量求空间角和距离【知识梳理】1.异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则2.直线和平面所成角的求法:如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=_______3.二面角的求法:a.如图①,AB,CD是二面角α-l-β两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=_______.b.如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=_________或___________.【特别提醒】1.利用可以求空间中有向线段的长度．2.点面距离的求法(1)向量法：已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为=(2)等体积法:把点到平面的距离转化为几何体的高,然后利用等体积法求解.【小题快练】链接教材练一练1.(选修2-1P117T4改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为.【解析】以C为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0,2).点C1在侧面ABB1A1内的射影为点所以=(-2,0,2),设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ,又θ∈,所以θ=.答案:2.(选修2-1P109例4改编)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC.则二面角C-PB-D的大小为.【解析】以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,设PD=DC=1,则D(0,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0).所以=(0,0,1),=(0,1,-1),=(1,1,0),=(-1,0,0),设平面PBD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),答案:60°感悟考题试一试3.(2016·威海模拟)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为()【解析】选Ａ．设线段A1B1，AB的中点分别为O，D，则OC1⊥平面ABB1A1，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.则所以因为所以即异面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1.4.(2016·烟台模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()【解析】选A.如图,以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系,设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为1，则所以设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ，EB1为平面ACC1A1的法向量．则sinθ＝5.(2016·邵阳模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,设AB=PA=1,知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1),由题意,AD⊥平面ABP,设E为PD的中点,连接AE,则AE⊥PD,又因为CD⊥平面PAD,所以AE⊥CD,又PD∩CD=D,所以AE⊥平面CDP.所以=(0,1,0),=（0，，）分别是平面ABP,平面CDP的法向量,且<,>=45°,所以平面ABP与平面CDP所成的二面角为45°.答案:45°考向一向量法求异面直线所成的角【典例1】(1)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60°,E是PB的中点,则异面直线DE与PA所成角的余弦值是()A.0B.C.D.(2)(2016·青岛模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.①求证：BD⊥平面PAC.②若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值.【解题导引】(1)以O为坐标原点,射线OB,OC,OP分别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系,表示出空间中各个点的坐标,进而给出相关向量的坐标,然后利用向量夹角余弦值求解.(2)①利用线面垂直的判定定理证明；②建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.【规范解答】(1)选B.以O为坐标原点,射线OB,OC,OP分别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在Rt△AOB中OA=,于是,点A,B,D,P的坐标分别是A(0,-,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,),所以异面直线DE与PA所成角