高一数学竞赛培训(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a+b,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、225……，n，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这222222样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a+b)(c+d)=(M)+(N)，M,N∈Z证明：设X1＝a+b，X2=c+d，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(a+b)(c+d)222222222222222222＝ac+bd+bc+ad＝ac+2ac·bd+bd+bc-2bc·ad+ad＝(ac+bd)+(bc-ad)又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。2.设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z}.求证：（1）一切奇数属于M;（2）4k-2(k∈Z)不属于M;（3）M中任意两个数的积仍属于M。23.已知函数f（x）=x+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:AB;(2)若A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素的确定例2．已知集合M＝{X，XY，lg(xy)}，S＝{0，∣X∣，Y}，且M＝S，则(X＋1/Y)＋(X＋1/Y2)＋……20022002＋(X＋1/Y)的值等于().分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解，对于两个相等的有限集合(数集)，还会用到它们的简单性质：(a)相等两集合的元素个数相等；(b)相等两集合的元素之和相等；(c)相等两集合的元素之积相等.解：由M＝S知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以XY≠0，故X，Y均不为零，所以只能有lg(XY)＝0，从而XY＝1.∴M＝{X，1，0}，S＝{0，∣X∣，1/X}.再由两集合相等知122222222222当X＝1时，M＝{1,1，0}，S＝{0,1，1}，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故X＝1不满足题目要求；当X＝－1时，M＝{－1,1，0}，S＝{0,1，－1}，M＝S，从而X＝－1满足题目要求，此时Y＝2K＋12K＋12K＋12K－1，于是X＋1/Y＝－2(K＝0,1，2，……)，X/Y＝2(K＝1,2，……),故所求代数式的值为0.2222练习:4.已知集合A=a1,a2,a3,a4,a5，B=a12,a2,a3,a4,a5，其中a1,a2,a3,a4,a5是正整数，{}{}且a1<a2<a3<a4<a5，并满足A∩B={a1,a4}，a1+a4=10,若A∪B中的所有元素之和为234，求集合A。三．容斥原理基本公式:(1)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？设A＝{参加游泳比赛的同学}，B＝{参加田径比赛的同学}，C＝{参加球类比赛的同学},则card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(A∪B∪C)=28,且card(A∩B)=3，card(A∩C)=3，card(A∩B∩C)=0,由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－card(B∩C)+0,即card(B∩C)=3,所以同时参加