第四节受迫振荡1．线性单摆的受迫振动2.杜芬方程的受迫振动3.庞加莱截面4.初识单摆的复杂运动驱动单摆方程驱动力写成指数这是非齐次线性微分方程,其通解是它的齐次线性方程的通解和它一个特解之和。1.齐次方程的通解:类似线性阻尼单摆，得：代入r、j以后特解为：非齐次线性微分方程的通解第一项随时间衰减，经一段时间后第一项将衰减到零，最后仅剩下第二部分：衰减过程常称为过渡过程。谐振特性1.受驱杜芬方程（Fcosnt驱动力）由单摆方程2.方程解设一次近似解（A,j为待定常数）A,j由下述方程组求出：其中2.方程解(续)讨论稳态2.方程解(续)考虑近共振：2.杜芬方程的受迫振动驱动频率n由小到大增加，共振点由1移至2。到达2后，振幅向上跳变到3。n值时到达点4后，振幅又发生一次跳变，由4一下跳到最低值。一些异常谐振特性现象：(1)自动限幅现象共振振幅A为一有限值：(2)多值共振解现象在区域，一个n值对应着三个A值，即共振解有三个q，r，s。(3)跳跃反相现象当时，j=0，共振解在共振线上；当时，j<0；当时，j>0。杜芬方程有异常频率特性，在间有3个解。它们的稳定性如何？稳定性判据为：在区域，解稳定性条件为：，否则解是不稳定的；在区域，解稳定性条件为：，否则解是不稳定的；以这两个判据来衡量，图中的q，r，s三个解中解q，s是稳定的，解r是不稳定的。无阻尼杜芬振子的轨线阻尼杜芬振子的轨线庞加莱截面与庞加莱映射单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。3.庞加莱映射单摆的三维相空间它的相图有一个奇怪吸引子(无周期运动)。相轨线绕着该吸引子一圈又一圈地不仃地转动，结果相空间的轨线越来越复杂。图中那一团相轨线就是在绕了1000圈后在该吸引子附近的形状。右下角是庞加莱截面图，图形不仅简单得多，而且显示出某种结构。由庞加莱截面图可见，转子的相轨线尽管极其复杂，但它不是毫无规律的，而是具有某种内在的规律性在内。4.初识单摆的复杂运动4.初识单摆的复杂运动4.初识单摆的复杂运动4.初识单摆的复杂运动4.初识单摆的复杂运动4.初识单摆的复杂运动