第22卷第3期河北北方学院学报(自然科学版)Vol122No132006年6月JournalofHebeiNorthUniversity(NaturalScienceEdition)June2006用完全覆盖证明实数系中若干定理关金玉,徐永春,祁建芳(河北北方学院数学系,河北张家口075000)摘要:引入MichaelW.Botsko提出的完全覆盖定义和完全覆盖定理,并利用完全覆盖定理给出了实数系中的Cauchy收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理的简便证明.关键词:完全覆盖;聚点;有限覆盖中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:167321492(2006)0320006202ToProveSeveralTheoremsinRealNumberFieldbyUsingFullCoveringTheoremGUANJin2yu,XUYong2chun,QIJian2fang(DepartmentofMathematics,HebeiNorthUniversity,Zhangjiakou,Hebei075028,China)Abstract:Thisarticleistointroducefullcoveringdefinitionandfullcoveringtheorem,andtosimpli2fytheprovementprocessofCauchyConvergencePrinciple,AccumulationPrincipleandFiniteCoveringPrincipleKeyword:fullcovering;accumulatepoint;finitecoveringMichaelW.Botsko提出了完全覆盖的概念,并证明了闭区间上的完全覆盖定理.顾荣宝和陈德泰利用完全覆盖定理证明了实数系中的连续性定理、确界定理、闭区间套定理和单调有界定理.本文利用闭区间上的完全覆盖定理来证明实数系中的Cauchy收敛准则和聚点定理.有限覆盖定理的传统的证明都过于繁琐,笔者通过对完全覆盖的分析,给出了有限覆盖定理巧妙而简洁的证明.为了叙述方便,先给出完全覆盖定义和完全覆盖定理.完全覆盖定义:闭区间[a,b]的闭子区间簇C称为[a,b]的一个完全覆盖.如果对任意一点x∈[a,b],都存在δ(x)>0,使得[a,b]的每一个包含x并且长度小于δ(x)的闭子区间都属于C.完全覆盖定理:闭区间[a,b]的任意完全覆盖C包含[a,b]的一个分割,即存在a=x0<x1<x2<⋯<xn-1<xn=b,使得每一个[xi-1,xi]∈C,i=1,2,⋯,n1定理1(Cauchy收敛准则)数列an收敛ZPε>0,存在一个正整数N,Pn>N,Pm>N,an-am<ε.证明必要性利用收敛定义易证.下面证明充分性:()若n有无穷多项相等不妨设nn⋯n⋯则n收敛于事实上由条件εaa,a1=a2==ak==a,aa.,P>0,存在一个正整数N,vn0>N,使得an=a,Pn>N,an-an=an-a<ε,即liman=a.00n→∞(b)若an没有无穷多项相等,则an有无穷多个互异的项,下面用反证法证明an收敛.εε假设an不收敛,由已知条件,对于0=1>0,存在一个正整数N0,Pn>N0,an-aN0+1<0=1,从而ε令⋯Pn>N0,an<aN0+1+0=aN0+1+1.M=max{a1,a2,a3,,aN0,收稿日期:20060403作者简介:关金玉(19762),男,内蒙古通辽人,河北北方学院数学系讲师,学士.·6·©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net2006年6月关金玉等:用完全覆盖证明实数系中若干定理第3期aN+1+1},显然,M>0,an∈[-M,M],n=1,2,⋯.令C={I|I为[-M,M]的闭子区间,0且I中最多含有an的有限项}.由假设[-M,M]上任意一点x都不是an的极限,则对于这个x,存在δ(x)>0,使得(x-δ(x),x+δ(x))中最多含有an的有限项,否则,Pε>0,(x-ε,x+ε)中含有an的无限多项,由已知条件,对于ε>0,存在一个正整数N,Pn>N,Pm>N,an-am<ε,一定存在i>N,且ai∈(x-ε,x+ε),从而Pn>N,an-x<an-ai+ai-x<2ε,即liman=x,这n→∞与假设矛盾.故Px∈[-M,M],存在δ(x)>0,使得(x-δ(x),x+δ(x))中最多含有an的有限项,[-