2023-2024学年河北省辛集市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为xy20，则顶点C的坐标为（）A．(4,0)B．(2,2)C．(3,1)D．(4,2)【正确答案】A【分析】设C(m,n)，计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于m,n的方程，最后联立解方程即可.【详解】设C(m,n)，由重心坐标公式得，2m4n三角形ABC的重心为(，)，332m4n代入欧拉线方程得：20，33整理得：mn40①40AB的中点为(1,2)，k2，AB021AB的中垂线方程为y2(x1)，即x2y30．2x2y30x1联立，解得．xy20y1ABC的外心为(1,1)．则(m1)2(n1)2321210，整理得：m2n22m2n8②联立①②得：m4，n0或m0，n4．当m0，n4时B，C重合，舍去．顶点C的坐标是(4,0)．故选：A．关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.2．已知两点A3,4，B3,2，过点P1,0的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是()A．1,1B．,11,C．1,1D．,11,【正确答案】D【详解】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，或k≤k，∴直线l的斜率k≥kPBPA4020∵PA的斜率为=﹣1，PB的斜率为=1，3131∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，故选D．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.3．等比数列a的前n项和为S，已知S10，S30，则S（）nn102040A．270B．150C．80D．70【正确答案】B【分析】根据题意等比数列a的公比q1，由等比数列的性质有S10，n10SS,SS,成等比数列，可得答案.20103020【详解】根据题意等比数列a的公比q1.n由等比数列的性质有S10，SS,SS,成等比数列1020103020所以有S10，SS20,则SS40，SS8010201030204030所以S40S70，S80S15030204030故选：B本题考查等比数列的前n项和的性质的应用,属于中档题.x2y24．已知双曲线C:1a0,b0的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在a2b2双曲线的左、右两支上，AFFB0，3BFFC且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）10A．2B．C．3D．22【正确答案】B由点A、B关于原点对称，设Bx,y，则Ax,y，利用3BFFC，得C4c3x,3y，再利用AFFB0得到关系式c2x2y2，再用点C、B在双曲线上，三个式子联立求解得到a22c23a2c2a2，化简得到2e47e250，即可求得双曲线的离心率.【详解】由点A、B关于原点对称，设Bx,y，则Ax,yuuuruuurFc,0，设Cm,n，BFcx,y，FCmc,nuuuruuur3cxmcm4c3xQ3BFFC，，即C4c3x,3y3ynn3yuuuruuruuuruuurQAFFB0，AFcx,y,BFcx,y利用向量数量积公式得：cx,ycx,y0，即c2x2y2①又点C、B均在双曲线上，22x2y24c3x3y1②，1③a2b2a2b2由①②③可得：a22c23a2c2a2两边同时除以a2可得：12e232e21