第十五章相似三角形的判定与性质平行线分线段成比例定理【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以FD∥BC，BE∥DQ，所以，因为,所以,即，即.又因为DE=BF,所以,所以.点评相似三角形的判定与性质【解析】(1)证明：因为DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB=EC，所以∠ABC=∠ECB.又因为AD=AC，所以∠ADC=∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC=2CD，所以又因为S△FCD=5，所以S△ABC=20.因为S△ABC=BC·AM,BC=10,所以20=×10·AM,所以AM=4.又因为DE∥AM，所以.因为,所以,所以.点评【变式练习2】如图，AE、AF分别为△ABC的内、外角平分线，O为EF的中点.求证：OB∶OC=AB2∶AC2.【解析】因为AE、AF分别为△ABC的内、外角平分线，所以AE⊥AF.又因为O为EF的中点,所以∠OEA=∠OAE.因为∠OAE=∠CAE+∠OAC，∠OEA=∠ABE+∠BAE，而∠BAE=∠CAE，所以∠OAC=∠ABE.因为∠AOB为公共角,所以△OAC∽△OBA.所以S△OBA∶S△OAC=AB2∶AC2.又因为△OAB与△OCA有一条公共边OA,所以S△OBA∶S△OAC=OB∶OC，所以OB∶OC=AB2∶AC2.相似三角形的应用点评直角三角形射影定理的应用点评【变式练习4】如图，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H=∠BCF.求证：GD2=GF·GH.【变式练习4】因为CE⊥AB，所以∠H+∠HFE=90°.又因为∠BCF=∠H,∠HFE=∠CFG，所以∠BCF+∠CFG=90°.所以FG⊥GC，所以△BGH∽△FGC.所以,即BG·GC=GF·GH.又因为DG2=BG·GC(直角三角形射影定理)，所以DG2=GF·GH.1.△ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=4，BC=7，求BD的长度.2.如图，E是ABCD的边BC的中点，若BD=9,求BF的长度.5.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，点D是垂足.求证：BC2=2CD·AC.【解析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，则CE=BE=BC.由BD⊥AC，AE⊥BC,得∠AEC=∠BDC=90°.又因为∠C=∠C，所以△AEC∽△BDC,所以，所以,即BC2=2CD·AC.2.相似三角形的性质把相似三角形的高、对应中线、对应角的平分线，以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来.利用相似三角形的性质可得到线段的比例、线段的平方比或角相等，有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长.3.运用直角三角形射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理.当所给条件具备定理的条件时，可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理.在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系，要注意它们的综合运用.