第四章线性系统的根轨迹分析判稳定性——特征根直接求出困难劳斯判据根与系数的关系定性根轨迹法开环零极点——闭环极点（特征根）图解方法部分定量第一节根轨迹的基本概念K1K开环传递函数为：G()s=1s()s+as()s+aK闭环传递函数为：1φ()s=2s++asK12特征方程为：s+as+1K0=2a⎛a⎞特征根为：1s=,2−±⎜⎟−K12⎝2⎠第一节根轨迹的基本概念2a20K(1)≤1<不等实根a⎛a⎞41s=,2−±⎜⎟−K12⎝2⎠−K11200ss===a过阻尼a2(2)K1=相等实根4as=s=−临界阻尼122a2a<K<∞(3)1−4共轭复根，实数不变22aa⎛⎞欠阻尼K1,2=−±sj1−⎜⎟22⎝⎠第一节根轨迹的基本概念2a2a⎛a⎞(1)0≤K1<1s=,2−±⎜⎟−K142⎝2⎠−K11200a===ssa2(2)K=14as=1s2=−22K1=a4a2<K<∞(3)412aa⎛⎞K1,2=−±sj1−⎜⎟22⎝⎠第一节根轨迹的基本概念定义：根轨迹是指系统特征方程式的根（闭环极点）随系统参量变化在S平面上运动而形成的轨迹。2K1=a4a−2第二节绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件GsHs()()+=10Rs()Gs()Cs()GsHs()()=−1Hs()G()s(H)=s1∠=±+=GsHs()()180(2oq1)q0,1,2,LmK1∏()s−jzj=1G()()sH=sn∏()s−pii=1第二节绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件mmnK1∏()s−jzj=1K1s−jzs−p∏∏iG()()sH=snj=1i=1=1K=∏()s−pin1mi=1s−p∏i∏s−zji=1j=1mno,2,1,∑∑∠−sz0ji−±∠−0sp8+=q1q=)L12()(()ji==11第二节绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件mno∑∑∠−(szji)−∠−(sp)=±+(2q1)180q=0,1,2,Lji==11ns−pK∏iG()s=1K=i=1s()s+a1m∏s−zjj=1Kssa1=+−∠ssaq−∠(+)=±(2+1)180oq=0,1,2,L∠+∠+ssaq()(21)180=±+oq=0,1,2,L第二节绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件→∞1KKjωG()s=1s()s+asKssa1=+−aσK1=02K1=0o∠+∠+ssa()=±180K1=a4a/2a/2K1→∞相角条件确定线，幅值条件确定点。第二节绘制根轨迹的基本条件和基本规则二、绘制根轨迹的基本规则规则一系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。规则二当K1=0时，根轨迹的各条分支从开环极点出发；当K1→∞时，有m条分支趋向于开环零点，另外有nm−条分支趋向无穷远处。nm2K1=a4∏s−pi∏s−zji=11j=1K1==mKns−z1∏j∏s−pij=1i=1第二节绘制根轨迹的基本条件和基本规则二、绘制根轨迹的基本规则规则三在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。mno∑∑∠−(szji)−∠−(sp)=±+(2q1)180q=0,1,2,Lji==11Ks(1)(3)++sGs()=1jωjω(2)(4)ss++σσ−4−3−2−10−4−3−2−10