成才之路·数学常用逻辑用语章末归纳总结典例探究学案自主预习学案1.准确掌握命题的定义是本章学习的先决条件．判断语句是否为命题的方法：一是__________，二是能否判断______．2．掌握四种命题的组成及互为逆否命题的等价性是本章需重点掌握内容之一．由于原命题和它的________命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转而判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”，所以教材在阐述了四种命题后安排了用反证法的例题，可以加深对命题等价性理解．3．要注意：否命题与命题的否定是不同的，否命题既否定______又否定结论，而命题的否定只否定_______，例如，原命题是“若∠A＝∠B，则a＝b”，其否命题是“若∠A≠∠B，则a≠b”，而原命题的否定是“存在∠A、∠B，虽然∠A＝∠B，但a≠b”．(1)复合命题的否定¬(p∧q)为__________.¬(p∨q)为__________.(2)含有一个量词的命题的否定全称命题的否定为特称命题，“∀x∈M，p(x)”的否定为：“________________”；特称命题的否定为全称命题，“∃x∈M，p(x)”的否定为：“________________”．4．充要条件的判断是通过判断命题“若p，则q”的_____来判断的．因此，充要条件与命题的四种形式之间的关系密切，可相互转化．充分、必要条件问题涉及的知识面广，要深刻理解充分、必要条件的概念，并联系问题中所涉及的知识点和有关概念作出判断．5．准确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，熟练判断“p∧q”、“p∨q”、“¬p”形式的命题的真假．6．准确区分全称命题和特称命题的差异，能用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定．1.原命题与其逆否命题同真同假，原命题的逆命题与其否命题同真同假，但原命题与其逆命题的真假没有关系，我们只研究“若p，则q”型命题的逆命题、否命题、逆否命题．2．只有在“若p，则q”为真命题时，才称p是q的充分条件，q是p的必要条件．3．注意区分“p的充分条件是q”与“p是q的充分条件”，前者q⇒p，后者p⇒q.4．命题的否定与否命题是两个不同的概念，命题的否定只否定命题的结论，否命题既否定原命题的结论，也否定原命题的条件.1.命题“∃x∈R,2x＋x2≤1”的否定是()A．∀x∈R,2x＋x2>1，假命题B．∀x∈R,2x＋x2>1，真命题C．∃x∈R,2x＋x2>1，假命题D．∃x∈R,2x＋x2>1，真命题[答案]A[解析]因为x＝0时，20＋02＝1≤1，故原命题为真命题，所以该命题的否定“∀x∈R,2x＋x2>1”是假命题．2．命题“若x、y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数[答案]C[解析]“都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．3．已知a、b、c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3[答案]A[解析]a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.[答案]B5．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案]D[解析]原命题是“若p，则q”时，逆命题为“若q，则p”，故选D.6．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x>x0”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件[答案]D四种命题的关系[解析](1)逆命题：若a＋c<b＋c，则a<b.否命题：若a≥b，则a＋c≥b＋c.逆否命题：若a＋c≥b＋c，则a≥b.(2)∵a<b，∴a＋c<b＋c，∴原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．∵a≥b，∴a＋c≥b＋c，∴其否命题是真命题，则其逆命题是真命题.(3)原命题的否定是：∃a、b满足a<b，使a＋c≥b＋c.