数学归纳法课时作业1．用数学归纳法证明：eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,(2n－1)(2n＋1))＝eq\f(n,2n＋1)(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝eq\f(1,1×3)＝eq\f(1,3)，右边＝eq\f(1,2×1＋1)＝eq\f(1,3)，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,(2k－1)(2k＋1))＝eq\f(k,2k＋1)，那么当n＝k＋1时，eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,(2k－1)(2k＋1))＋eq\f(1,(2k＋1)(2k＋3))＝eq\f(k,2k＋1)＋eq\f(1,(2k＋1)(2k＋3))＝eq\f(k(2k＋3)＋1,(2k＋1)(2k＋3))＝eq\f(2k2＋3k＋1,(2k＋1)(2k＋3))＝eq\f(k＋1,2k＋3)＝eq\f(k＋1,2(k＋1)＋1)，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．2．求证：eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n)>eq\f(5,6)(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左边＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)>eq\f(5,6)，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k)>eq\f(5,6).当n＝k＋1时，eq\f(1,(k＋1)＋1)＋eq\f(1,(k＋1)＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3(k＋1))＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋1)＋\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))>eq\f(5,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋1)＋\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))>eq\f(5,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＝eq\f(5,6).∴当n＝k＋1时不等式也成立．∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．3．试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．证明(1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．当n＝k＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，所以n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知，对于任意n∈N*，命题都成立．4．设集合M＝{1,2,3，…，n}(n≥3，n∈N*)，记M的含有三个元素的子集的个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn.(1)求eq\f(T3,S3)，eq\f(T4,S4)，eq\f(T5,S5)，eq\f(T6,S6)的值；(2)猜测eq\f(Tn,Sn)的表达式，并证明．解(1)eq\f(T3,S3)＝2，eq\f(T4,S4)＝eq\f(5,2)，eq\f(T5,S5)＝3，eq\f(T6,S6)＝eq\f(7,2).(2)猜测eq\f(Tn,Sn)＝eq\f(n＋1,2)(n≥3，n∈N*)．下面用数归纳法证明．①当n＝3时，由(1)知猜测成立；②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，猜测成立，即eq\f(Tk,Sk)＝eq\f(k＋1,2)，而Sk＝Ceq\o\al(3,k)，所以Tk＝eq\f(k＋1,2)·Ceq\o\al(3,k).那么当n