第6章不等式、推理与证明练习71．已知实数x＞－1且x≠0，整数p＞1，n∈N*，求证：(1＋x)p＞1＋px.证明：(1)当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，原不等式成立．(2)假设p＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式(1＋x)k＞1＋kx成立，与p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k＞(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x，所以p＝k＋1时，原不等式成立．综合(1)(2)可得，当x＞－1，且x≠0时，对一切整数p＞1，不等式(1＋x)p＞1＋px成立．2．已知函数f0(x)＝eq\f(sinx,x)(x＞0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*，证明：nfn－1(x)＋xfn(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(nπ,2)))对所有的n∈N*都成立．证明：(1)当n＝1时，左边＝f0(x)＋xf1(x)＝eq\f(sinx,x)＋x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,x)))′＝eq\f(sinx,x)＋x·eq\f(xcosx－sinx,x2)＝cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(kπ,2))).因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(kπ,2)))))′＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(kπ,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(kπ,2)))′＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋\f(k＋1π,2)))，所以，(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋\f(k＋1π,2))).因此，当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)(2)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(nπ,2)))对所有的n∈N*都成立.